[논문 리뷰] A simple test for white noise in functional time series

Pramita Bagchi, Vaidotas Characiejus외 1명|arXiv (Cornell University)|2016. 01. 01.

Statistical Methods and Inference참고 문헌 13인용 수 1

한 줄 요약

이 논문은 스펙트럴 밀도 오퍼레이터와 그에 대한 화이트 노이즈 오퍼레이터에 의한 최적의 L2-근사치 사이의 L2-거리에 기반한 단순하고 정규화 없이 화이트 노이즈를 검정하는 방법을 제안한다. 이 검정은 주기도 커널의 합에 기반하여, 점근적으로 정규분포를 따르는 검정통계량을 제공하며, 리샘플링이나 장기분산 추정 없이도 표준정규분포를 통해 직접 임계값을 계산할 수 있고, 화이트 노이즈에서의 이격도에 대한 신뢰구간을 제공한다.

ABSTRACT

We propose a new procedure for white noise testing of a functional time series. Our approach is based on an explicit representation of the $L^2$-distance between the spectral density operator and its best ($L^2$-)approximation by a spectral density operator corresponding to a white noise process. The estimation of this distance can be easily accomplished by sums of periodogram kernels and it is shown that an appropriately standardized version of the estimator is asymptotically normal distributed under the null hypothesis (of functional white noise) and under the alternative. As a consequence we obtain a very simple test (using the quantiles of the normal distribution) for the hypothesis of a white noise functional process. In particular the test does neither require the estimation of a long run variance (including a fourth order cumulant) nor resampling procedures to calculate critical values. Moreover, in contrast to all other methods proposed in the literature our approach also allows to test for "relevant" deviations from white noise and to construct confidence intervals for a measure which measures the discrepancy of the underlying process from a functional white noise process.

연구 동기 및 목표

• 시간 시리즈에서 기능적 화이트 노이즈를 위한 단순하고 계산 효율적인 검정을 개발하기 위해.
• 부트스트랩과 같은 리샘플링 절차나 정규화 파rameter에 의존하지 않기 위해.
• 화이트 노이즈에서의 이격도에 대한 직접적인 측정치와 명시적인 신뢰구간을 제공하기 위해.
• 오차항의 독립적 동일분포 가정 없이 약한 의존성 하에서도 강건성을 확보하기 위해.
• 기존 스펙트럴 도메인 검정들에 비해 유한표본 성능을 향상시키기 위해.

제안 방법

• 검정은 알려지지 않은 스펙트럴 밀도 오퍼레이터와 그에 대한 화이트 노이즈 스펙트럴 밀도 오퍼레이터에 의한 최적의 L2-근사치 사이의 L2-거리에 기반한다.
• 이 거리는 전체 스펙트럴 밀도 추정을 피하기 위해 제곱 주기도 커널의 합을 통해 직접 추정된다.
• 검정통계량은 이 추정량의 표준화된 형태이며, 귀무가설과 대립가설 하에서 점근적으로 정규분포를 따름을 입증하였다.
• 임계값은 표준정규분포에서 유도되었으며, 부트스트랩이나 커널 밴드위드 선택이 필요 없게 되었다.
• 이 방법은 진짜 화이트 노이즈에서의 거리에 대한 신뢰구간을 구성할 수 있게 하여, '의미 있는' 이격도 검정이 가능해진다.
• 반복적 또는 리샘플링 절차가 없기 때문에 계산적으로 효율적이다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 정규화나 리샘플링 없이도 기능적 화이트 노이즈 검정을 개발할 수 있는가?
• RQ2 주기도 합을 통해 스펙트럴 밀도 오퍼레이터와 그에 대한 화이트 노이즈 근사치 사이의 L2-거리가 양호한 점근적 성질을 갖는 추정이 가능한가?
• RQ3 유도된 검정통계량이 귀무가설과 대립가설 하에서 모두 점근적으로 정규분포를 따를 수 있는가?
• RQ4 이 방법이 화이트 노이즈에서의 이격도에 대한 신뢰구간을 제공할 수 있으며, 실용적인 '의미 있는' 이격도 평가가 가능한가?
• RQ5 제안된 검정은 기존의 스펙트럴 도메인 검정들, 예를 들어 Zhang (2016)와 비교해 어떻게 유한표본 성능을 보이는가?

주요 결과

• 제안된 검정통계량은 귀무가설인 기능적 화이트 노이즈와 대립가설 하에서 모두 점근적으로 정규분포를 따르며, 표준정규분포를 사용해 직접 임계값을 계산할 수 있다.
• 장기분산 추정이나 네 번째 순서 누적량 추정이 필요 없으며, 리샘플링도 필요 없어 계산적으로 효율적이다.
• 오차항의 약한 의존성 하에서도 강건하며, 이전의 포트만체 테스트들과 달리 독립적 동일분포 가정을 하지 않아도 된다.
• 시뮬레이션 연구 결과, 특히 크기와 검정력 측면에서 Zhang (2016)와 비교해 경쟁적인 표본 내 성능을 보였다.
• L2-거리에서의 진짜 거리에 대한 명시적인 신뢰구간을 제공하여 연구자들이 이격도의 실용적 의의를 평가할 수 있다.
• 정규화 없이, 밴드위드나 지연단계 잘라내기 수치를 선택할 필요가 없어, 다른 방법들에서 흔히 발생하는 불안정성의 원인이 되는 요소를 피한다.