[논문 리뷰] A Sound and Complete Substitution Algorithm for Multimode Type Theory

Joris Ceulemans, Andreas Nuyts외 1명|arXiv (Cornell University)|2024. 01. 01.

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한 줄 요약

이 논문은 다중모드 유형 이론(Multimode Type Theory, MMTT)에 대해 타당성과 완전성이 보장된 대입 알고리즘을 제시하며, 이를 변형된 형태인 WSMTT에서 형식화한다. 이는 표현과 대입에 대한 완전한 유형 규칙 및 동치 규칙을 정의하고, SFMTT에서 WSMTT로의 통합 번역의 정당성을 증명하며, 이 번역 하에서 대입이 유지됨을 보장함으로써 다중모드 유형 체계에서의 타입 안정성과 의미적 충실성을 확보한다.

ABSTRACT

Multimode Type Theory (MTT) is a generic type theory that can be instantiated with an arbitrary mode theory to model features like parametricity, cohesion and guarded recursion. However, the presence of modalities in MTT significantly complicates the substitution calculus of this system. Moreover, MTT’s syntax has explicit substitutions with an axiomatic system - not an algorithm - governing the connection between an explicitly substituted term and the resulting term in which variables have actually been replaced. So far, the only results on eliminating explicit substitutions in MTT rely on normalisation by evaluation and hence also immediately normalise a term. In this paper, we present a substitution algorithm for MTT that is completely separated from normalisation. To this end, we introduce Substitution-Free Multimode Type Theory (SFMTT): a formulation of MTT without explicit substitutions, but for which we are able to give a structurally recursive substitution algorithm, suitable for implementation in a total programming language or proof assistant. On the usual formulation of MTT, we consider σ-equality, the congruence generated solely by equality rules for explicit substitutions. There is a trivial embedding from SFMTT to MTT, and a converse translation that eliminates the explicit substitutions. We prove soundness and completeness of our algorithm with respect to σ-equivalence and thus establish that MTT with σ-equality has computable σ-normal forms, given by the terms of SFMTT.

연구 동기 및 목표

• 다중모드 유형 이론(Multimode Type Theory, MMTT)에 대해 타당성과 완전성이 보장되며, 타입 안정성과 의미적 정확성을 확보하는 대입 알고리즘을 설계한다.
• 표현과 대입 생성자(부울, 종속 함수 유형, 모달 유형 포함)를 포함한 완전한 규칙을 갖춘 잘 스코프된 MTT의 변형(WSMTT)을 형식화한다.
• 표현과 대입에 대한 σ-동치를 정의하고, 반사성, 대칭성, 추이성, 함의성의 성질을 확립한다.
• SFMTT의 표현과 대입을 WSMTT로의 통합이 대입을 보존함을 증명하여 의미적 충실성을 확보한다.
• SFMTT에서 WSMTT로의 번역이 대입과 동치성을 존중함을 형식적으로 검증하여 다중모드 환경에서의 타당한 타입 검사 가능성을 확보한다.

제안 방법

• 부울, 종속 함수 유형, 모달 유형을 포함한 표현과 대입 생성자의 완전한 집합을 갖춘 WSMTT를 정의한다.
• 표현과 대입에 대한 구조적 동치 관계인 σ-동치를 도입하며, 반사성, 대칭성, 추이성, 조건부 동치 규칙을 포함한다.
• SFMTT에서 WSMTT로의 번역 함수 J_K와 WSMTT에서 SFMTT로의 통합 함수 embed(_)를 정의하여 유형 수준의 대응을 보장한다.
• 핵심 보조정리(예: 보조정리 31, 33)와 제안 34를 통해 통합이 대입을 보존함을 증명하며, embed(t[σ]) ≡σ embed(t)[embed(σ)] 를 보장한다.
• 표현과 대입에 대한 구조적 귀납을 통해 타당성을 확립하며, 모든 t와 σ에 대해 embed(JtK) ≡σ t 및 embed(JσK) ≡σ σ 를 증명한다.
• 이ossal리프팅 연산(예: σ+ := (σ ◦ π).v0)과 범주론적 원리(예: 결합법칙, 항등원 법칙)를 사용하여 대입의 조합과 동치성에 대해 추론한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 WSMTT의 대입 알고리즘이 기초 유형 이론에 대해 타당성과 완전성이 보장되는가?
• RQ2 SFMTT의 표현과 대입을 WSMTT로의 통합이 대입 동치성을 보존하는가?
• RQ3 표현과 대입에 대한 σ-동치 규칙이 대입이 잘 정의되고 타입 안정적인지 보장하는 데 충분한가?
• RQ4 SFMTT에서 WSMTT로의 번역이 구조적 귀납과 통합 보존을 통해 정당화될 수 있는가?
• RQ5 모달 유형 생성자(예: ⟨µ|A⟩, modµ(t))가 다중모드 환경에서 대입과 동치성과 어떻게 상호작용하는가?

주요 결과

• WSMTT의 대입 알고리즘은 타당성이 보장된다: 임의의 WSMTT 표현 t에 대해, σ-동치 하에 embed(JtK) ≡σ t 가 성립한다.
• WSMTT의 대입 알고리즘은 완전성이 보장된다: 임의의 WSMTT 대입 σ에 대해, embed(JσK) ≡σ σ 가 성립하여 SFMTT와 WSMTT 간의 대입에 대한 완전한 대응을 보장한다.
• 통합 함수는 대입을 보존한다: 모든 표현 t와 대입 σ에 대해 embed(t[σ]) ≡σ embed(t)[embed(σ)] 가 성립하며, 제안 34에 의해 형식화되었다.
• 반사성, 대칭성, 추이성, 조건부 동치를 포함한 σ-동치 규칙의 완전한 집합이 형식적으로 정의되었고, 일관성이 입증되었다.
• SFMTT에서 WSMTT로의 번역은 정확하다: 임의의 SFMTT 항목이나 대입의 번역의 통합은 원래 항목이나 대입와 σ-동치이다.
• 증명은 구조적 귀납과 핵심 보조정리(예: 보조정리 31, 33)에 기반하며, 이는 통합이 대입과 리프팅 연산 하에서 어떻게 행동하는지를 보여준다.