[논문 리뷰] A splitting of the virtual class for genus one stable maps

Tom Coates, Cristina Manolache|arXiv (Cornell University)|2018. 09. 11.

Algebraic Geometry and Number Theory참고 문헌 25인용 수 7

한 줄 요약

이 논문은 매끄럽고 사영인 다양체로의 고리수 1의 안정 사상에 대해 가상 기본류의 사이클 수준 분할을 '유령' 성분—모듈리 공간의 고리수 0의 분열—을 정의하여 수립한다. 가상 클래스에 대한 일반화된 함수성 성질을 사용하여, 이 유령 성분들의 가상 투영이 고리수 0 모듈리 공간으로 가는 강한 투영 성질을 만족함을 증명하며, 이는 칼라비-유타 3차원에서 표준 및 축소된 그로모프-와이너 인버리언트 사이의 정확한 공식을 이끌어낸다: $\operatorname{GW}_{1,\beta}^{X} = \operatorname{GW}^{X,\text{red}}_{1,\beta} + \frac{1}{12}\operatorname{GW}^{X}_{0,\beta}$.

ABSTRACT

Moduli spaces of stable maps to a smooth projective variety typically have several components. We express the virtual class of the moduli space of genus one stable maps to a smooth projective variety as a sum of virtual classes of the components. The key ingredient is a generalised functoriality result for virtual classes. We show that the natural maps from 'ghost' components of the genus one moduli space to moduli spaces of genus zero stable maps satisfy the strong push forward property. As a consequence, we give a cycle-level formula which relates standard and reduced genus one Gromov--Witten invariants of a smooth projective Calabi--Yau theefold.

연구 동기 및 목표

• 고리수 1 안정 사상의 모듈리 공간의 가상 기본류를 주 성분과 열화된 '유령' 성분을 포함한 그의 기약 성분들로의 기여도로 분해하기.
• 특히 유령 성분에서 고리수 0 모듈리 공간으로의 사상에 대해 강한 가상 투영 성질을 만족하는 가상 클래스에 대한 일반화된 함수성 성질을 수립하기.
• 표준 및 축소된 그로모프-와이너 인버리언트 사이의 관계를 고리수 1에서 사이클 수준으로 증명하는 지너/리-지너 공식을 제공하기.
• 유령 성분 위의 가상 클래스를 사용하여 축소된 그로모프-와이너 인버리언트 이론을 칼라비-유타 3차원으로 확장하기.

제안 방법

• 특이점을 해결하기 위해 $\overline{M}_{1,n}(X,d)$의 모듈리 공간의 블로우업 $\tilde{M}(X)$을 도입하고, 주 성분과 유령 성분 위에 가상 클래스를 정의하기.
• 유령 성분 $\tilde{M}(X)^\lambda$의 블로우업 위에서 제한된 방해 이론을 정의하여, 이들이 완전하고 상대적 방해 이론의 쌍대임을 보장하기.
• $\tilde{M}(X)$ 위에서의 방해 이론의 변형 공간을 구성하고, 이를 블로우업하여 가상 클래스가 올바른 차원을 가지도록 보장하기.
• 가상 클래스에 대한 일반화된 함수성 결과를 사용하여, $\tilde{M}(X)^\lambda$에서 $P(X)^\lambda$로의 가상 클래스의 투영이 잘 정의되고 강한 투영 성질을 만족함을 보이기.
• $q^\lambda: \tilde{M}(X)^\lambda \to P(X)^\lambda$의 일반 섹면에서 국소 계산을 수행하고, 정규군의 차수를 정규군의 체르누 클래스와 상대적 방해 이론을 통해 계산하기.
• 가상 끌어올림과 투영의 교환 법칙을 적용하여, 가상 클래스의 투영에서 나타나는 유리수 계수 $k$를 계산하고, 이로 인해 $\frac{2 + K_X \cdot \beta}{24}$를 포함하는 핵심 공식을 이끌어내기.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 고리수 1 안정 사상의 모듈리 공간의 가상 기본류는 주 성분과 열화된 유령 성분을 포함한 그 기약 성분들로 분해될 수 있는가?
• RQ2 유령 성분에서 고리수 0 모듈리 공간으로의 자연스러운 투영 사상은 강한 가상 투영 성질을 만족하는가?
• RQ3 칼라비-유타 3차원에서 표준 및 축소된 고리수 1 그로모프-와이너 인버리언트 사이의 사이클 수준 공식을 유도할 수 있는가?
• RQ4 고리수 1의 경우 표준 및 축소된 인버리언트 사이의 정확한 계수는 무엇이며, 기하학적으로 어떻게 계산되는가?

주요 결과

• 고리수 1 안정 사상의 모듈리 공간의 가상 기본류는 주 성분과 유령 성분의 가상 클래스의 합으로 분해된다: $[\tilde{M}(X)]^{\text{virt}} = [\tilde{M}(X)^0]^{\text{virt}} + \sum_{\lambda \in I} [\tilde{M}(X)^\lambda]^{\text{virt}}$.
• 사상 $q^\lambda: \tilde{M}(X)^\lambda \to P(X)^\lambda$는 강한 가상 투영 성질을 만족하여, 유령 성분의 가상 클래스의 투영이 $P(X)^\lambda$ 위의 가상 클래스에 비례함을 보장한다.
• 칼라비-유타 3차원 $X$에 대해, 표준 및 축소된 고리수 1 그로모프-와이너 인버리언트는 다음 관계로 연결된다: $\operatorname{GW}_{1,\beta}^{X} = \operatorname{GW}^{X,\text{red}}_{1,\beta} + \frac{1}{12}\operatorname{GW}^{X}_{0,\beta}$.
• 유령 성분에서의 가상 클래스의 투영 계수 $k$는 $k = \frac{2 + K_X \cdot \beta}{24}$로 계산되며, 이는 일반 섹면에서 정규군의 제2 체르누 클래스로부터 유도된다.
• 유령 성분 $\tilde{M}(X)^1$에서 $M_{0,0}(X,\beta)$로의 가상 투영은 $\frac{2 + K_X \cdot \beta}{24} [M_{0,0}(X,\beta)]^{\text{virt}}$로 주어진다.
• 이 결과는 $X$가 완전교차형이 아니어도 성립하므로, 이전 결과들이 이러한 가정에 의존했던 것을 일반화한다.