[논문 리뷰] A strengthening of the Nyman-Beurling criterion for the Riemann hypothesis, 2

Luis Báez‐Duarte|ArXiv.org|2002. 05. 01.

Spectral Theory in Mathematical Physics인용 수 33

한 줄 요약

이 논문은 리만 가설을 가정할 때, $ (0,1] $의 특성 함수 $ \chi $ 가 자연수 $ a \in \mathbb{N} $ 에 대해 $ \rho_a(x) = \rho(1/(ax)) $ 로 생성되는 부분공간 $ \mathcal{B}^{\text{nat}} $ 의 폐포에 속한다는 것을 증명함으로써 리만 가설에 대한 Nyman-Beurling 기준을 강화한다. 또한, $ \chi $ 와 믹서드된 합 $ -\sum_{a=1}^n \mu(a) e^{-c \log a / \log \log n} \rho_a $ 사이의 거리가 $ \ll (\log \log n)^{-1/3} $ 임을 정량적으로 추정하며, 이는 $ L^2(0,\infty) $ 에서의 근사 속도를 구체적으로 제공한다.

ABSTRACT

Let $ρ(x)=x-[x]$, $χ=χ_{(0,1)}$. In $L_2(0,\infty)$ consider the subspace $\B$ generated by $\{ρ_a|a\geq1\}$ where $ρ_a(x):=ρ(\frac{1}{ax})$. By the Nyman-Beurling criterion the Riemann hypothesis is equivalent to the statement $χ\in\bar{\B}$. For some time it has been conjectured, and proved in the first version of this paper, posted in arXiv:math.NT/0202141 v2, that the Riemann hypothesis is equivalent to the stronger statement that $χ\in\bar{\Bnat}$ where $\Bnat$ is the much smaller subspace generated by $\{ρ_a|a\in\Nat\}$. This second version differs from the first in showing that under the Riemann hypothesis for some constant $c>0$ the distance between $χ$ and $-\sum_{a=1}^nμ(a)e^{-c\frac{\log a}{\log\log n}}ρ_a$ is of order $(\log\log n)^{-1/3}$.

연구 동기 및 목표

• 자연수 매개변수로 생성되는 더 작은 부분공간 $ \mathcal{B}^{\text{nat}} $ 로 전체 Beurling 부분공간 $ \mathcal{B} $ 를 대체함으로써 리만 가설에 대한 Nyman-Beurling 기준의 더 강력한 형태를 확립한다.
• 리만 가설을 가정할 때, 특성 함수 $ \chi $ 가 $ \mathcal{B}^{\text{nat}} $ 의 원소들에 의해 근사되는 정도에 대한 정량적 추정을 제공한다.
• 기존의 근사법들, 예를 들어 $ F_n = \sum_{a=1}^n \mu(a) \rho_a $ 는 $ L^2 $ 에서 발산하나, 지수 가중치 $ e^{-c \log a / \log \log n} $ 를 도입한 믹서드된 형태로 이를 보완함으로써 수렴 속도를 개선한다.
• Fourier-Mellin 변환과 Plancherel 정리를 사용하여 근사 오차의 $ L^2 $-노름을 분석한다.
• 수렴 속도를 제타 함수의 영점 분포와 모비우스 함수의 성장률 사이의 관계와 연결하기 위해 Balazard-Saias 및 Burnol 추정을 활용한다.

제안 방법

• 함수 $ f_{\epsilon,n}(x) = \sum_{a=1}^n \frac{\mu(a)}{a^\epsilon} \rho_a(x) $ 를 정의하고, 여기서 $ \rho_a(x) = \rho(1/(ax)) $ 이며, Fourier-Mellin 변환을 통해 그 $ L^2 $-노름을 분석한다.
• Plancherel 정리를 적용하여 $ f_{\epsilon,n} + \chi $ 의 $ L^2 $-노름을 임계선 $ \Re(z) = 1/2 $ 에서의 적분으로 표현하며, 이는 $ \left| \zeta(z) \sum_{a=1}^n \frac{\mu(a)}{a^{z+\epsilon}} - 1 \right|^2 $ 를 포함한다.
• Balazard-Saias 보조정리를 사용하여 부분합 $ \sum_{a=1}^n \frac{\mu(a)}{a^{z+\epsilon}} $ 를 추정하며, 리만 가설 하에서 $ 1/\zeta(z+\epsilon) $ 에 대해 오차 $ O(n^{-\epsilon/3}) $ 로 근사됨을 보인다.
• 함수방정식과 감마 함수의 점근적 성질을 이용하여 임계선에서 비율 $ \left| \frac{\zeta(z)}{\zeta(z+\epsilon)} \right| $ 를 추정하며, 리만 가설 하에서 $ \ll |z|^{\epsilon/2} $ 임을 얻는다.
• 적분을 제타 영점 근처와 그 외부 영역으로 나누며, 고전적 영점 밀도 추정과 Burnol의 추정 $ \left| \frac{\zeta(z)}{\zeta(z+\epsilon)} \right| \ll |z|^{\epsilon/2} $ 을 활용하고, $ \epsilon = c / \log \log n $ 를 선택하여 오차를 최적화한다.
• 두 적분의 오차 bound 를 결합하여 최종 추정 $ \| f_{\epsilon,n} + \chi \|_{\mathcal{H}}^2 \ll n^{-2\epsilon/3} + \epsilon^{2/3} $ 을 도출하고, $ \epsilon = c / \log \log n $ 를 대입하여 $ (\log \log n)^{-1/3} $ 의 감쇠를 얻는다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 리만 가설은 $ (0,1] $ 의 특성 함수 $ \chi $ 가 자연수 $ a \in \mathbb{N} $ 에 대해 $ \rho_a $ 로 생성되는 부분공간 $ \mathcal{B}^{\text{nat}} $ 의 폐포에 속한다는 것과 동치인가?
• RQ2 리만 가설을 가정할 때, $ \chi $ 가 $ \mathcal{B}^{\text{nat}} $ 의 원소들에 의해 근사되는 최적의 속도는 무엇인가?
• RQ3 $ \chi $ 와 믹서드된 합 $ -\sum_{a=1}^n \mu(a) e^{-c \frac{\log a}{\log \log n}} \rho_a $ 사이의 $ L^2(0,\infty) $ 에서의 오차는 어떻게 되며, 정확한 오차 bound 는 무엇인가?
• RQ4 발산하는 고전적 근사 $ F_n = \sum_{a=1}^n \mu(a) \rho_a $ 는 적절한 합산 방법을 통해 복구될 수 있는가?
• RQ5 가중치 합 $ f_{\epsilon,n} $ 에서 $ \epsilon = c / \log \log n $ 를 선택하는 것이 $ \chi $ 로 향하는 거의 최적의 수렴 속도를 제공하는가? 그리고 이는 제타 함수의 영역 없음 영역과 어떻게 관련이 있는가?

주요 결과

• 리만 가설은 $ \chi \in \overline{\mathcal{B}^{\text{nat}}} $ 와 동치이며, 여기서 $ \mathcal{B}^{\text{nat}} $ 는 $ \{ \rho_a \mid a \in \mathbb{N} \} $ 의 닫힌 선형 생성공간이다. 이는 고전적 Nyman-Beurling 기준을 강화한다.
• 리만 가설을 가정할 경우, $ \chi $ 와 믹서드된 합 $ -\sum_{a=1}^n \mu(a) e^{-c \frac{\log a}{\log \log n}} \rho_a $ 사이의 $ L^2(0,\infty) $ 에서의 거리는 $ \ll (\log \log n)^{-1/3} $ 이하로 유계이다. 이는 근사 속도에 대한 구체적인 추정을 제공한다.
• 수렴 속도 $ (\log \log n)^{-1/3} $ 는 두 오차 항을 균형 잡는 것으로 유도되며, 하나는 $ \sum \mu(a)/a^{s} $ 의 부분합 근사 오차이고, 다른 하나는 비율 $ \zeta(z)/\zeta(z+\epsilon) $ 의 오차이며, 최적 선택은 $ \epsilon = c / \log \log n $ 이다.
• Balazard-Saias 보조정리는 핵심 추정을 제공한다: $ \sum_{a=1}^n \frac{\mu(a)}{a^{z+\epsilon}} = \frac{1}{\zeta(z+\epsilon)} + O(n^{-\epsilon/3} e^{b \mathcal{L}(t)}) $ for $ \Re(z) = 1/2 $ 이며, 이는 $ n^{-2\epsilon/3} $ 오차 항에 필수적이다.
• Burnol의 보다 다른 추정, $ \left| \frac{\zeta(z)}{\zeta(z+\epsilon)} \right| \ll |z|^{\epsilon/2} $ 는 임계선에서 제타 함수 비율을 제어하며, 영점 근처의 오차 분석을 가능하게 한다.
• 결과적으로 고전적 근사 $ F_n = \sum_{a=1}^n \mu(a) \rho_a $ 는 $ L^2 $ 에서 발산하나, 지수 믹서드를 통해 안정화될 수 있으며, 이러한 방법은 리만 가설 하에서 비자명한 수렴 속도를 제공한다.