[논문 리뷰] A structural solution to the monotonic tracking control problem

Lorenzo Ntogramatzidis, Jean‐François Trégouët외 2명|arXiv (Cornell University)|2014. 12. 05.

Iterative Learning Control Systems참고 문헌 18인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 다중입력다중출력(MIMO) 시스템에서 임의의 초기 조건에 대해 과도 응답이 없이 단조로운 단계 응답(오버슈트 또는 언더슈트 없음)을 보장하는 선형 시간 불변(LTI) 상태 피드백 제어기 설계를 위한 구조적 해법을 제시한다. 이 방법은 시스템의 구조에 기반한 필요 및 충분한 구성 조건을 제공하여, 비최소위상 시스템을 포함한 모든 시스템에서 임의의 수렴 속도와 단조성을 확보할 수 있다.

ABSTRACT

In this paper we present a method for designing a linear time invariant (LTI) state-feedback controller to monotonically track a constant step reference at any desired rate of convergence for any initial condition. Necessary and sufficient constructive conditions are given to deliver a monotonic step response from all initial conditions. This method is developed for multi-input multi-output (MIMO) systems, and can be applied to square and non-square systems, strictly proper and non-strictly proper systems, and, importantly, also minimum and non-minimum phase systems. The framework proposed here shows that for MIMO LTI systems the objectives of achieving a rapid settling time, while at the same time avoiding overshoot and/or undershoot, are not necessarily competing objectives.

연구 동기 및 목표

• 제어 시스템에서 빠른 정착 시간과 단조로운 응답은 상호 배타적인 목표로 여겨지는 오랜 오해를 해결한다.
• 임의의 초기 조건에서 MIMO LTI 시스템에서 단조로운 단계 응답을 달성할 수 있는지 여부를 판단할 수 있는 구성적이고 구조적인 기준을 제공한다.
• 기존 방법을 비최소위상 시스템, 비제곱형 및 비 стрictly proper 시스템, 그리고 임의의 수렴 속도까지 확장한다.
• 수치적 탐색 기반 방법의 한계를 극복하기 위해, 시스템 구조에 기반한 해석적 가시성 조건을 제시한다.
• 모든 출력 성분이 초기 상태에 관계없이 단조로움을 보장하는 피드백 제어기를 설계할 수 있도록 한다.

제안 방법

• 각 출력 성분의 추적 오차가 최대 하나의 실수 지수 모드에 의해 구동되는 닫힌 루프 고유구조 할당 문제로 문제를 재정의한다.
• 부분공간 $\mathcal{V}_g^\star$ 와 조건 $\dim \mathcal{V}_g^\star \geq n - p$ 를 도입하여, 단조성에 대한 필수 및 충분한 구조적 기준으로 삼는다.
• 모든 안정화 피드백 행렬을 매개변수화하기 위해 $\ker P_{\Sigma_1}(\lambda)$ 의 최소 차수 다항식 기저 행렬을 사용한다.
• 행렬 역행렬과 매개변수화를 통해 피드백 행렬 $F_{K,H,k}(\lambda)$ 를 구성하여, 닫힌 루프 스펙트럼이 실수이자 음수(또는 원하는 수렴 속도로 안정화)임을 보장한다.
• 연속시간 및 이산시간 시스템, 포함하여 strict한 및 비 strict한 proper 시스템에 모두 적용한다.
• 매개변수화의 자유도를 활용하여 추가적인 성능 최적화(예: 고유벡터의 프로베니우스 조건수 최소화) 또는 이득 조정을 가능하게 한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 비최소위상 시스템을 포함한 MIMO LTI 시스템에서 임의의 초기 조건에 대해 단조로운 단계 응답을 달성할 수 있는가?
• RQ2 시스템 데이터에 어떤 구조적 조건이 성립해야 단조로운 응답을 보장하는 상태 피드백 제어기가 존재하는가?
• RQ3 MIMO 시스템에서 오버슈트 및 언더슈트 없이 임의의 수렴 속도를 달성하는 것이 가능한가?
• RQ4 피드백 설계는 어떻게 매개변수화할 수 있는가? 이는 단조성을 유지하면서 추가 최적화(예: 강인성)를 가능하게 한다.
• RQ5 가시성 조건은 수치적 탐색 알고리즘과 독립적으로 시스템 구조에만 기반하여 표현될 수 있는가?

주요 결과

• 논문은 MIMO LTI 시스템에서 단조성과 빠른 정착 시간이 본질적으로 충돌하는 목표가 아님을 규명한다.
• 임의의 초기 조건에서 단조로운 추적을 보장하기 위한 필수 및 충분한 조건은 $\dim \mathcal{V}_g^\star \geq n - p$ 로, 이는 시스템의 구조에만 기반한 표현이다.
• 이 방법은 비최소위상 시스템, 예를 들어 실수 비최소위상 영점이 있는 SISO 시스템까지 적용 가능하며, 이 경우 단조로움이 불가능한 것을 정확히 식별한다.
• 피드백 행렬은 유리함수 형태의 행렬 함수 $F_{K,H,k}(\lambda)$ 를 통해 매개변수화되어, 원하는 스펙트럼 성질을 가진 제어기를 명시적으로 구성할 수 있다.
• 예시를 통해 비최소위상 시스템에서도 단조로움을 달성할 수 있음을 보여주며, 두 번째 출력은 $F = \begin{bmatrix} 1/8 & 3/8 & 17/8 \\ -9/4 & 5/4 & -3/2 \end{bmatrix}$ 로 참조 입력을 즉시 추적한다.
• 매개변수화의 잔여 자유도를 활용하여 강인성(예: 고유벡터의 조건수 최소화) 및 이득 최적화를 가능하게 한다.