[논문 리뷰] A structure theorem for geodesic currents and length spectrum compactifications

Marc Burger, Alessandra Iozzi외 2명|arXiv (Cornell University)|2017. 10. 19.

Geometric and Algebraic Topology참고 문헌 8인용 수 10

한 줄 요약

이 논문은 유한형 타입의 쌍곡 표면 위의 지측선 커런트를 측도가 부여된 라미네이션 또는 양의 시스톨을 가진 커런트와 관련된 성분들로의 정규 분해를 수립한다. 이 성분들 중 양의 시스톨을 가진 커런트는 이중리프시츠 등가의 교차 함수와 길이 함수를 가지며, 매핑 클래스 군이 이 열린 부분집합 위에서 제대로 이산적으로 작용함을 보여, 히친 및 최대 특성 다양체의 길이 스펙트럼 컴팩트리피케이션에 대한 구조 정리가 가능하다.

ABSTRACT

We find a canonical decomposition of a geodesic current on a surface of finite type arising from a topological decomposition of the surface along special geodesics. We show that each component either is associated to a measured lamination or has positive systole. For a current with positive systole, we show that the intersection function on the set of closed curves is bilipschitz equivalent to the length function with respect to a hyperbolic metric. We show that the subset of currents with positive systole is open and that the mapping class group acts properly discontinuously on it. As an application, we obtain in the case of compact surfaces a structure theorem on the length functions appearing in the length spectrum compactification both of the Hitchin and of the maximal character varieties and determine therein an open set of discontinuity for the action of the mapping class group.

연구 동기 및 목표

• 특정 지측선을 沿한 위상적 분해에 기반하여 유한형 타입의 쌍곡 표면 위의 지측선 커런트에 대한 정규 분해를 제공하기 위해.
• 분해의 성분들을 측도가 부여된 라미네이션과 관련된 성분 또는 양의 시스톨을 가진 성분으로 특성화하기 위해.
• 양의 시스톨을 가진 커런트가 쌍곡 메트릭에 대해 이중리프시츠 등가의 교차 함수와 길이 함수를 가짐을 보여주기 위해.
• 양의 시스톨을 가진 커런트의 부분집합이 열려 있고, 매핑 클래스 군이 이 부분집합 위에서 제대로 이산적으로 작용함을 증명하기 위해.
• 결과들을 적용하여 히친 및 최대 특성 다양체의 길이 스펙트럼 컴팩트리피케이션에서 매핑 클래스 군 작용의 열린 불연속 집합을 규명하기 위해.

제안 방법

• 모든 $c'$가 $c$ 와 교차할 때 $i(\mu, c) = 0$ 이지만 $i(\mu, c') > 0$ 인 특수한 닫힌 지측선의 집합 $\mathcal{E}_\mu$ 를 정의하여, 단순 닫힌 곡선들의 서로소 합집합을 이룬다.
• 표면 $\Sigma$ 를 $\mathcal{E}_\mu$ 의 곡선들로 둘러싸인 부분표면 $\Sigma_v$ 들로 분해하고, 각 $\Sigma_v$ 에서 지지되는 성분 $\mu_v$ 와 경계 곡선 위에서 원자 측도 $\lambda_c \delta_c$ 로 이루어진 커런트 $\mu$ 의 합으로 분해한다.
• 지측선 커런트 $\mu$ 에 대해 $\mu$-약간 짧은 지측선의 개념을 도입하여, 분해에서의 이분법적 성질를 특성화한다.
• 각 성분 $\mu_v$ 에 대해 $\mathrm{Syst}_{\Sigma_v}(\mu_v) > 0$ 이거나 $\mu_v$ 가 $\Sigma_v$ 를 메우는 측도가 부여된 라미네이션과 관련된 커런트임을 보인다.
• 보나혼의 교차 쌍대성의 컴팩티시티와 연속성을 이용하여, 시스톨이 0인 커런트의 집합이 닫혀 있음을 보이고, 따라서 시스톨이 양수인 집합이 열려 있음을 유도한다.
• 오탈의 결과를 적용하여, 교차 매핑 $I: \mathbb{P}\mathcal{C}(\Sigma) \to \mathbb{P}(\mathbb{R}_{\geq 0}^{\mathscr{C}})$ 가 그 이미지 위에서 위상동형임을 보이고, 이를 길이 스펙트럼 컴팩트리피케이션과 연결한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 유한형 타입의 쌍곡 표면 위의 지측선 커런트는 특수 지측선을 따라 하는 위상적 분해에 기반하여 정규 분해가 가능한가?
• RQ2 그러한 분해의 성분들은 무엇으로 특성화되는가? 성분이 측도가 부여된 라미네이션과 관련되어 있을 때와, 양의 시스톨을 가질 때는 언제인가?
• RQ3 지측선 커런트 중에서 양의 시스톨을 가진 부분집합은 모든 커런트 공간에서 열려 있는가?
• RQ4 매핑 클래스 군은 양의 시스톨을 가진 커런트 부분집합 위에서 제대로 이산적으로 작용하는가?
• RQ5 히친 및 최대 특성 다양체의 길이 스펙트럼 컴팩트리피케이션의 구조는 어떠한가? 특히 매핑 클래스 군 작용의 불연속 집합에 관해 무엇을 알 수 있는가?

주요 결과

• 모든 유한형 타입의 쌍곡 표면 위의 지측선 커런트 $\mu$ 는 $\mu = \sum_{v \in \mathcal{V}_\mu} \mu_v + \sum_{c \in \mathcal{E}_\mu} \lambda_c \delta_c$ 와 같이 정규 분해 가능하며, 각 $\mu_v$ 는 부분표면 $\Sigma_v$ 에서 지지되고, 또는 양의 시스톨을 가지거나 $\Sigma_v$ 를 메우는 측도가 부여된 라미네이션과 관련된 커런트이다.
• 모든 커런트 $\mu$ 에 대해 $\mathrm{Syst}(\mu) > 0$ 이면, 닫힌 곡선 $c$ 에 대해 $c \mapsto i(\mu, \delta_c)$ 는 쌍곡 길이 함수 $\ell(c)$ 와 이중리프시츠 등가이다.
• $\mathrm{Syst}(0) = \{ \mu \in \mathcal{C}(\Sigma) \mid \mathrm{Syst}(\mu) = 0 \}$ 는 닫혀 있으므로, 그 여집합인 $\Omega = \{ \mu \mid \mathrm{Syst}(\mu) > 0 \}$ 는 $\mathcal{C}(\Sigma)$ 에서 열려 있다.
• 매핑 클래스 군은 $\mathcal{C}(\Sigma)$ 의 열린 부분집합 $\Omega \subset \mathcal{C}(\Sigma)$ 인 양의 시스톨을 가진 커런트 위에서 제대로 이산적으로 작용한다.
• 히친 및 최대 특성 다양체의 길이 스펙트럼 컴팩트리피케이션에서, 교차 매핑 $I$ 에 의한 $\Omega$ 의 상은 매핑 클래스 군 작용에 대한 열린 불연속 집합을 이룬다.
• 모든 $[\mu] \in \Omega$ 에 대해, $V_{[\mu]}$ 와 상수 $0 < c_1 \leq c_2$ 가 존재하여, 모든 $[\nu] \in V_{[\mu]}$ 와 고정된 컴팩트 집합에 속한 모든 닫힌 지측선 $c$ 에 대해 $c_1 \ell(c) \leq i(\nu, \delta_c) \leq c_2 \ell(c)$ 가 성립한다.