[논문 리뷰] A study on random permutation graphs

Oğuz Gürerk, I\c{s}lak, \"Umit외 1명|arXiv (Cornell University)|2019. 01. 20.

Graph Labeling and Dimension Problems인용 수 1

한 줄 요약

이 논문은 균일한 랜덤 순열에서 생성된 역전 관계가 발생할 때 정점 간에 간선이 형성되는 무작위 순열 그래프의 확률적 및 渐近적 성질을 연구한다. 확률론과 U-통계량 이론을 활용하여, 정점의 차수, 고립 정점 수, 클리크 수에 대한 중심극한정리들을 수립하였으며, 균일한 랜덤 순열 모델 하에서 주요 그래프 통계량의 명시적 渐近적 분포를 도출하였다.

ABSTRACT

For a given permutation $\pi_n$ in $S_n$, a random permutation graph is formed by including an edge between two vertices $i$ and $j$ if and only if $(i - j) (\pi_n(i) - \pi_n (j)) < 0$. In this paper, we study various statistics of random permutation graphs. In particular, the degree of a given node, the number of nodes with a given degree, the number of isolated vertices, and the number of cliques are analyzed. Further, explicit formulas for the probabilities of having a given number of connected components and isolated vertices are obtained.

연구 동기 및 목표

• 무작위 순열 그래프에서 개별 정점의 차수 분포를 분석하는 것.
• 고립 정점 수와 연결 요소 수에 대한 정확한 및 渐近적 분포를 유도하는 것.
• m-클리크 수와 길이가 m 이상인 사이클 수에 대한 중심극한정리를 수립하는 것.
• 주어진 차수를 가진 정점의 기대 수를 일반화하여 고립 정점과 잎 정점까지 포함하는 것.
• 무작위 순열 내의 증가 및 감소 부분수열과 같은 조합 구조와 그래프 이론적 성질을 연결하는 것.

제안 방법

• 균일한 랜덤 순열 πn ∈ Sn을 통해 무작위 순열 그래프를 모델링하며, (i−j)(πn(i)−πn(j)) < 0이면 i와 j 간에 간선이 존재한다.
• 간선와 순열 내 역전 관계의 등가성을 활용하여 그래프 통계량을 순열 통계량으로 재구성한다.
• Rényi의 고전적 결과를 적용하여 균일한 순서 통계량 기반의 i.i.d. 베르누이 지표 합으로서 정점 차수를 표현한다.
• U-통계량 이론을 활용하여 m-클리크 수와 길이 ≥ m인 사이클 수에 대한 중심극한정리를 증명한다.
• 대칭성과 분포 동등성을 활용하여 길이 m의 감소 부분수열 수가 증가 부분수열 수와 동일한 분포를 가짐을 보인다.
• 기존의 최장 증가 부분수열에 대한 결과(Baik-Deift-Johansson)를 활용하여 그래프의 최장 사이클의 극한 분포를 특성화한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 n → ∞ 일 때, 무작위 순열 그래프에서 고정된 정점의 차수의 극한 분포는 무엇인가?
• RQ2 무작위 순열 그래프에서 정확히 k개의 고립 정점이 존재할 정확한 확률은 무엇인가?
• RQ3 무작위 순열 그래프에서 m-클리크 수가 n이 증가함에 따라 중심극한정리를 만족하는가?
• RQ4 무작위 순열 그래프에서 차수 d를 가진 정점의 기대 수는 무엇이며, 고립 정점과 잎 정점으로 일반화되는가?
• RQ5 그래프 내 길이가 m 이상인 사이클 수는 기본 순열 내 증가 부분수열 수와 어떻게 관련이 있는가?

주요 결과

• 무작위 순열 그래프에서 중앙 정점의 차수는 중심극한정리를 만족한다: (d(n/2) − n/2)/√n →d N(0, U(1−U)), 여기서 U ∼ Uniform(0,1).
• 임의의 고정된 정점 k에 대해 n → ∞ 일 때 차수는 중심극한정리를 만족하며, 중앙 정점의 경우를 일반화한다.
• m-클리크 수 Km은 중심극한정리를 만족한다: (Km − E[Km])/√Var(Km) →d Z, 여기서 Z는 표준 정규분포이다.
• 그래프 내 길이가 m 이상인 사이클 수 역시 중심극한정리를 만족하며, 계승과 이항계수를 포함한 명시적 渐近적 분산이 도출된다.
• 차수 d를 가진 정점의 기대 수는 닫힌 형태로 도출되었으며, 고립 정점과 잎 정점의 기대 수를 일반화한다.
• 최장 사이클 길이 Ln은 Ln − 2√n / n^{1/6} →d TW를 만족한다. 여기서 TW는 Tracy-Widom 분포이며, 그래프의 최장 사이클이 최장 증가 부분수열 문제와 연결됨을 보여준다.