[논문 리뷰] A surrogate model for computational homogenization of elastostatics at finite strain using the HDMR-based neural network approximator

Vien Minh Nguyen‐Thanh, Lu Trong Khiem Nguyen외 2명|arXiv (Cornell University)|2019. 06. 05.

Composite Material Mechanics참고 문헌 29인용 수 11

한 줄 요약

이 논문은 고차원 모델 표현(HDMR)에 영감을 받은 신경망을 사용하여 유한변형 탄성정Statics의 이중 척도 수치 균질화를 위한 서브스티튜션 모델을 제안한다. 이 방법은 FFT 기반 미세구조 해석에서 생성된 데이터를 기반으로 신경망을 훈련시켜, 높은 정확도를 유지하면서도 효율적인 온라인 거시 척도 FEM 분석을 가능하게 한다. 캔틸레버 빔 기준시험에서 균질화된 해와 전장 해 사이의 뛰어난 일치도를 통해 검증되었다.

ABSTRACT

We propose a surrogate model for two-scale computational homogenization of elastostatics at finite strains. The macroscopic constitutive law is made numerically available via an explicit formulation of the associated macro-energy density. This energy density is constructed by using a neural network architecture that mimics a high-dimensional model representation. The database for training this network is assembled through solving a set of microscopic boundary values problems with the prescribed macroscopic deformation gradients (input data) and subsequently retrieving the corresponding averaged energies (output data). Therefore, the two-scale computational procedure for the nonlinear elasticity can be broken down into two solvers for microscopic and macroscopic equilibrium equations that work separately in two stages, called the offline and online stages. A standard finite element method is employed to solve the equilibrium equation at the macroscale. As for mircoscopic problems, an FFT-based collocation method is applied in tandem with the Newton-Raphson iteration and the conjugate-gradient method. Particularly, we solve the microscopic equilibrium equation in the Lippmann-Schwinger form without resorting to the reference medium and thus avoid the fixed-point iteration that might require quite strict numerical stability condition in the nonlinear regime.

연구 동기 및 목표

• 비선형 탄성정Statics의 유한변형에서 이중 척도 수치 균질화를 위한 빠르고 정확한 서브스티튜션 모델을 개발하는 것.
• 기존 FE² 방법의 높은 계산 비용을 해결하기 위해 미세구조 및 거시구조 해석기를 오프라인 및 온라인 단계로 분리하는 것.
• FFT로 해결된 미세구조 문제에서 훈련된 신경망을 사용하여 미분 가능하고 명시적인 거시에너지 밀도 근사치를 구축하는 것.
• 미세구조 응력 변동성을 걸러내면서도 거시적 거동을 정확하고 견고하게 포착하는 것.
• 원형 포함체를 가진 복잡한 미세구조에서 전장 유한요소 시뮬레이션과의 비교를 통해 프레임워크를 검증하는 것.

제안 방법

• 고차원 함수 근사의 효율성을 보장하기 위해 고차원 모델 표현(HDMR)에 영감을 받은 신경망 아키텍처를 사용하여 거시에너지 밀도를 근사한다.
• 훈련 데이터베이스는 FFT 기반 콜로케이션 방법을 사용하여 주어진 거시변형 기울기를 갖는 수많은 미세경계값 문제(BVP)를 해결함으로써 생성된다.
• 기본 매질이 없는 리플만-슐레져 형태로 미세균형 평형을 해결하여 고정점 반복을 피하고 비선형 영역에서의 안정성을 향상시킨다.
• 뉴턴-라프슨 및 공액 기울기 방법을 사용하여 FFT 프레임워크 내에서 비선형 미세균형 평형 방정식을 해결한다.
• 오프라인 단계에서는 다양한 변형 기울기 범위에서의 에너지 반응을 사전 계산하고 저장하며, 온라인 단계에서는 훈련된 신경망을 사용하여 거시에너지 및 그 기울기를 신속하게 평가한다.
• 표준 FEM을 사용하여 거시문제를 해결하며, 반복적인 미세구조 해석 없이 서브스티튜션 모델이 효과적인 구성 응답을 제공한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 FFT로 해결된 미세구조 문제에서 훈련된 신경망 서브스티튜션 모델이 유한변형 탄성정Statics에서 거시에너지 밀도를 정확하게 근사할 수 있는가?
• RQ2 복잡한 미세구조에서 표준 방법과 비교하여 HDMR 기반 신경망 아키텍처는 정확도와 계산 효율성 측면에서 어떻게 비교되는가?
• RQ3 전장 해와의 비교에서 균질화된 해가 전체 변형 및 응력 경향을 어느 정도 잘 포착하는가?
• RQ4 제안된 프레임워크는 온라인 거시척도 분석 중 반복적인 미세구조 해석이 필요 없이도 정확도를 유지할 수 있는가?
• RQ5 고상대비율과 복잡한 포함 패턴을 가진 미세구조에 적용했을 때, 서브스티튜션 모델의 견고성은 어느 정도인가?

주요 결과

• 2D 캔틸레버 빔에 $40 \times 10$개의 원형 포함체를 가진 경우, 균질화된 해와 전장 유한요소 해 사이의 수직 변위 분포에서 뛰어난 일치도를 보였다.
• 균질화된 응력장은 국소적 변동성을 부드럽게 다스리지만, 특히 고응력 농도 및 저응력 농도 영역에서 전장 응력 분포의 전반적인 경향을 잘 포착한다.
• 서브스티튜션 모델에서 얻은 법선 제2 피올라 응력 $\overline{S}_{11}$ 은 단순한 영역에서 부드러운 전이를 보이며, 상대비가 높은 영역에서 발생하는 단위 대비로 인해 전장 해에서는 관찰되는 진동하는 행동과 대조된다.
• 경직한 포함체 내부에서 전장 해에서는 응력 농도가 뚜렷하게 나타나지만, 균질화된 해는 이러한 효과를 평균화하여 기대하는 바와 같이 행동한다.
• 포함체 수가 증가할수록 프레임워크가 여전히 높은 정확도를 유지함으로써, 복잡한 미세구조를 가진 대표체적 요소(RVE)에 대한 신뢰성을 확인하였다.
• 제안된 방법은 두 척도 문제를 효율적인 오프라인 및 온라인 단계로 분리하여, 기존 FE² 접근법에 비해 계산 비용을 크게 감소시켰다.