[논문 리뷰] A Survey on Small-Area Planar Graph Drawing

Giuseppe Di Battista, Fabrizio Frati|arXiv (Cornell University)|2014. 10. 04.

Computational Geometry and Mesh Generation참고 문헌 106인용 수 12

한 줄 요약

이 종합 검토는 평면 그래프를 소형 기하 영역에 그릴 알고리즘과 이론적 하한에 대한 포괄적인 개요를 제공하며, 직선, 수직, 상향, 볼록, 근접도 및 군집화 그림과 같은 다양한 그림 규약을 중심으로 다룬다. 영역 최소화를 위한 핵심 기법을 규명하고, 특정 군집화 그래프 그림에 대한 지수적 영역 하한과 군집화 트리의 순서 유지 볼록 그림에 대한 해결되지 않은 질문을 포함한 열린 문제를 강조한다.

ABSTRACT

We survey algorithms and bounds for constructing planar drawings of graphs in small area.

연구 동기 및 목표

• 최소 영역에서 평면 그래프를 그릴 최신 알고리즘과 기하 공간 하한을 조사한다.
• 직선, 수직, 상향, 볼록 및 군집화 그림과 같은 다양한 그림 규약이 영역 요구량에 어떻게 영향을 주는지 분석한다.
• 소형 영역 평면 그래프 그림 분야의 근본적인 열린 문제를 규명하고, 특히 군집화 및 계층적 그래프에 초점을 맞춘다.
• 그래프 구조(예: 트리, 외부 평면, 시리즈-패러럴)와 평면 그림에서의 영역 효율성 간의 상호작용을 검토한다.
• 군집화 그래프 그림에서 순서 유지 및 볼록 영역 표현에 대한 영역 요구량에 대한 해결되지 않은 질문을 다룬다.

제안 방법

• 최소 영역을 갖는 평면 그래프 그림을 생성하기 위한 기존 알고리즘 기법을 조사하며, 특히 귀납적 구성과 기하 변환을 중점으로 한다.
• 직선 엣지, 다각형 선, 상향 방향성, 볼록 면 제약과 같은 그림 규약이 영역 복잡도에 미치는 영향을 분석한다.
• 엣지 압축, 클러스터 제거, 분리 3사이클을 통한 분해와 같은 귀납적 방법을 사용하여 복잡한 그래프를 더 단순한 부분문제로 줄인다.
• 군집화 그래프의 경우, 그래프를 계층적 또는 외부군집형으로 변환하여 재귀적 그림 그리기와 재구성 가능하게 한다.
• Fáry의 정리와 시야 표현 기법에서 유래한 기법을 응용하여 소형 영역에서 수직 및 직사각형 그림을 구성한다.
• 상향 및 직선 그림에서 알려진 지수적 영역 구성으로부터의 감소를 통해 하한을 유도하며, 특히 비-c-연결 군집화 트리에 대해 적용한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 다양한 임베딩 제약 조건 하에서, 어떤 n-정점 평면 그래프도 직선 엣지를 사용하여 그릴 때 필요한 최소 영역은 얼마인가?
• RQ2 모든 군집화 그래프가 다항 영역에서 볼록 클러스터 영역을 갖는 그림으로 그릴 수 있는가, 아니면 본질적인 지수적 영역 하한이 존재하는가?
• RQ3 클러스터가 볼록 영역으로 표현되어야 할 때, 군집화 트리의 순서 유지 직선 c-평면 그림에 대한 영역 요구량은 무엇인가?
• RQ4 분리 사이클과 이중연결 성분은 군집화 그래프 그림의 영역 복잡도에 어떻게 영향을 주는가?
• RQ5 다양한 그래프 가족과 그림 규약에서 소형 영역 그림을 달성하는 일반적인 알고리즘 프레임워크가 존재하는가?

주요 결과

• 클러스터가 볼록 영역으로 표현되는 모든 직선 c-평면 그림에서 지수적 영역이 필요한 군집화 그래프가 존재하며, 이는 근본적인 하한을 확립한다.
• c-연결 군집화 트리의 경우, 귀납적 알고리즘이 O(n²) 영역에서 직선 직사각형 그림을 생성하여 다항 영역의 실현 가능성을 보여준다.
• 비-c-연결 군집화 트리의 경우, 볼록 영역 직선 그림에서 지수적 영역이 요구될 수 있으며, 이는 상향 그림에서 알려진 하한을 연장한 것이다.
• Angelini 등이 제안한 알고리즘은 외부군집형 및 선형 순서화된 부분그래프로의 재귀적 분해를 통해 군집화 그래프의 직선 직사각형 그림을 구성한다.
• Eades 등과 Feng 등은 일반적인 c-평면 그림에서 클러스터가 볼록일 경우, degree-4 제약 조건이 있더라도 지수적 영역이 요구됨을 규명한다.
• 군집화 트리의 순서 유지 직선 c-평면 그림에서 볼록 클러스터 영역을 갖는 경우의 영역 복잡도에 대한 열린 문제는 여전히 남아 있다.