[논문 리뷰] A survey on the Weierstrass approximation theorem

Dilcia Pérez, Yamilet Quintana|ArXiv.org|2006. 11. 02.

Mathematical functions and polynomials참고 문헌 26인용 수 36

한 줄 요약

이 종합적 서베이는 Weierstrass 근사정리의 포괄적인 개요를 제공하며, 고전적 결과를 $Γ$-값 함수와 가중치가 부여된 Sobolev 공간으로 확장한다. 이는 $L^p_{Γ}(I)$에서 $Γ$-값 다항함수의 조밀성을 확립하고, 가중치가 부여된 $W^{1,∞}_{Γ}(I,w)$ 공간에서 이러한 다항함수들의 폐쇄를 탐구하며, 근사 이론에서의 새로운 일반화와 열린 문제를 제시한다.

ABSTRACT

The celebrated and famous Weierstrass approximation theorem characterizes the set of continuous functions on a compact interval via uniform approximation by algebraic polynomials. This theorem is the first significant result in Approximation Theory of one real variable and plays a key role in the development of General Approximation Theory. Our aim is to investigate some new results relative to such theorem, to present a history of the subject, and to introduce some open problems.

연구 동기 및 목표

• 근사 이론에서 Weierstrass 근사정리의 역사적 개요와 현대적 발전을 제시하기 위해.
• 고전적 정리를 실수 분리 가능한 힐베르트 공간($\mathcal{G}$-값 함수)의 함수로 일반화하기 위해.
• $\mathcal{G}$-값 다항함수의 $L^p_{\mathcal{G}}(I)$ 및 가중치가 부여된 Sobolev 공간 $W^{1,\infty}_{\mathcal{G}}(I,w)$에서의 조밀성 조사하기 위해.
• 가중치가 부여된 $W^{1,\infty}$ 노름 하에서 $\mathbb{P}(\mathcal{G})$의 폐쇄에 관한 문제를 특정하고 열어두기 위해.

제안 방법

• 고전적 Weierstrass 정리를 컴팩트 구간 $I$ 상의 $\mathcal{G}$-값 연속 함수로 확장하며, 여기서 $\mathcal{G}$는 실수 분리 가능한 힐베르트 공간이다.
• $\mathcal{G}$-값 다항함수를 $\phi(t) = \sum_{n \in \mathbb{N}} \xi_n t^n$ 형태로 정의하며, $\xi_n \in \mathcal{G}$ 이고 유한한 지지집합을 가진다.
• $\mathcal{G}$-값 함수의 약한 가측성과 $p$-적분 가능성을 만족하는 함수들의 공간인 $L^p_{\mathcal{G}}(I)$를 정의하며, 노름은 $\|f\|_{L^p_{\mathcal{G}}(I)} = \left(\int_I \|f(t)\|_{\mathcal{G}}^p dt\right)^{1/p}$ 로 주어진다.
• $\mathcal{G}$-값 함수 $f$의 도함수를 정규직교기저를 통한 성분별 약한 도함수로 정의함으로써, 노름 $\|f\|_{W^{1,\infty}_{\mathcal{G}}(I)} = \|f\|_{L^\infty_{\mathcal{G}}(I)} + \|f'\|_{L^\infty_{\mathcal{G}}(I)}$ 를 갖는 Sobolev 공간 $W^{1,\infty}_{\mathcal{G}}(I)$ 를 구성한다.
• $\mathcal{G}$-값 함수에 대해 가중치가 부여된 노름 $\|f\|_{L^\infty_{\mathcal{G}}(I,w)}$ 와 $\|f\|_{W^{1,\infty}_{\mathcal{G}}(I,w)} = \|f\|_{L^\infty_{\mathcal{G}}(I,w)} + \|f'\|_{L^\infty_{\mathcal{G}}(I,w)}$ 를 도입한다.
• $\mathcal{G}$ 내 정규직교기저의 성질과 $\mathcal{G}$가 가환 Banach 대수로서의 구조를 활용하여, $\mathcal{G}$-값 설정에서의 근사 분석을 수행한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 $\mathbb{P}(\mathcal{G})$ 가 가중치가 부여된 $W^{1,\infty}_{\mathcal{G}}(I,w)$ 공간에서 폐쇄되는가?
• RQ2 $\overline{\mathbb{P}(\mathcal{G})}^{W^{1,\infty}_{\mathcal{G}}(I,w)}$ 를 특성화할 수 있는 가중치 $w$에 대한 가장 일반적인 조건은 무엇인가?
• RQ3 Weierstrass 근사정리는 $1 \leq p < \infty$ 에 대해 $L^p_{\mathcal{G}}(I)$ 상의 $\mathcal{G}$-값 함수로 어떻게 일반화될 수 있는가?
• RQ4 고전적 Weierstrass 정리는 무한차원 힐베르트 공간의 값 함수에 대해 Sobolev 유사 노름에 대해 일반화될 수 있는가?
• RQ5 $\mathcal{G}$ 가 가환 Banach 대수로서의 구조가 이러한 일반화를 가능하게 하는 데 어떤 역할을 하는가?

주요 결과

• $\mathcal{G}$-값 다항함수의 공간 $\mathbb{P}(\mathcal{G})$ 는 모든 $1 \leq p < \infty$ 에 대해 $L^p_{\mathcal{G}}(I)$ 에 조밀하며, 이는 고전적 Weierstrass 정리를 벡터 값 함수로 확장한 것이다.
• $\mathbb{P}(\mathcal{G})$ 는 본질적 상한 노름 하에서 $L^\infty_{\mathcal{G}}(I)$ 에 조밀하다.
• $\mathcal{G}$-값 함수 $f$ 의 도함수는 $\mathcal{G}$ 의 정규직교기저를 통한 성분별 약한 도함수로 정의되며, 이는 $W^{1,\infty}_{\mathcal{G}}(I)$ 의 구성에 기여한다.
• $W^{1,\infty}_{\mathcal{G}}(I)$ 는 노름 $\|f\|_{W^{1,\infty}_{\mathcal{G}}(I)} = \|f\|_{L^\infty_{\mathcal{G}}(I)} + \|f'\|_{L^\infty_{\mathcal{G}}(I)}$ 를 갖는 잘 정의된 공간이며, $\mathbb{P}(\mathcal{G})$ 는 이 공간에 조밀하다.
• 논문은 $\mathbb{P}(\mathcal{G})$ 가 가중치가 부여된 $W^{1,\infty}_{\mathcal{G}}(I,w)$ 공간에서 폐쇄되는 문제를 제기하며, 가중치 $w$ 에 대한 일반 조건이 필요하다고 강조한다.
• 논문은 $\mathcal{G}$-값 함수가 $L^\infty_{\mathcal{G}}(I)$ 노름 하에서 $\mathcal{G}$-값 다항함수로 근사될 수 있음을 입증하며, 고전적 균일 근사 결과를 일반화한다.