[논문 리뷰] A toy model for time evolving QFT on a lattice with controllable chaos

David Berenstein|arXiv (Cornell University)|2018. 03. 06.

Quantum many-body systems참고 문헌 18인용 수 8

한 줄 요약

이 논문은 텐서 곱의 양자 토러스 위에서 일반화된 양자 고양이 맵을 기반으로 하는 이산 시간 양자 격자 모델을 제안하며, 리아풀로프 지수와 얽힘 엔트로피의 진동을 분석적으로 계산할 수 있도록 한다. 이는 공간적 영역 간의 얽힘 비율이 log(N)에 의해 결정됨을 보여주며, N=2일 경우 시스템은 고전적 메시지를 방송하고 일반화된 GHZ 상태를 생성하는 양자 세포자동기로 작용하며, 이중 기저에서의 초기 상태 준비를 통해 얽힘을 제어 가능하다는 것을 보여준다.

ABSTRACT

A class of models with a dynamics of generalized quantum cat maps on a product of quantum tori is described. These tori are defined by an algebra of clock-shift matrices of dimension $N$. The dynamics is such that the Lyapunov exponents can be computed analytically at large $N$. Some of these systems can be thought of as a toy model for quantum fields on a lattice under a time evolution with nearest neighbor interactions, resembling a quantum version of a cellular automaton. The dynamics of entangling is studied for initial product states. Some of these entangle at rates determined by Lyapunov exponents of the system at large $N$ when the initial states are gaussian. For other classes of states, entanglement between two regions can be computed analytically: it is found that entanglement rates are controlled by $\log(N)$. Some of these setups can be realized on quantum computers with CNOT quantum gates. This is analyzed in detail where we find that the dynamics has a self-similar behavior and various peculiar behaviors. This dynamics can be interpreted in a particular basis as a machine that broadcasts classical messages in one direction and that produces over time a generalized GHZ state with the receiving region once we consider superpositions of such messages. With the appropriate choice of quantum vacuum on the receiving end of the system one can stop the message from leaving the broadcast area.

연구 동기 및 목표

• 제어 가능한 혼돈과 얽힘 동역학을 분석적으로 계산할 수 있는 격자 위의 제어 가능한 양자장 이론의 간이 모델을 개발하기 위해.
• 이산 시간 진동을 갖는 양자 시스템에서 리아풀로프 지수와 얽힘 생성 속도 간의 관계를 탐구하기 위해.
• 양자 격자 설정에서 리아풀로프 지수에 독립적으로, 얽힘 엔트로피 진동이 log(N)으로 유계임을 보일 수 있는지 조사하기 위해.
• 특정 초기 상태 준비를 통해 얽힘을 국소화하거나 정지시킬 수 있는지, 이는 고전적 동역학에서는 존재하지 않는 순수한 양자 효과임을 보여주기 위해.
• CNOT 게이트를 사용하는 양자 계산 가능한 모델을 제공하여 자기 유사성 동역학과 일반화된 GHZ 상태 형성을 실현하기 위해.

제안 방법

• 모델은 N차원 양자 토러스의 곱 위에서 정의된 일반화된 양자 고양이 맵을 기반으로 하는 이산 시간 진동을 사용하며, 시계 이동 행렬이 대수적 구조를 형성한다.
• 리아풀로프 지수는 맵의 고전적 단일 회전 행렬에서 유도된 단일 행렬의 대각화를 통해 분석적으로 계산된다.
• 공간 영역 간의 얽힘 엔트로피는 초기 상태가 곱 상태인 밀도 행렬을 사용하여 계산되며, 특히 가우시안 및 반고전적 초기 상태에 중점을 둔다.
• 동역학은 이산 푸리에 변환을 통해 이중 기저로 매핑되며, N=2일 경우 시에르핀스키 삼각형과 같은 자기 유사적인 프랙탈 구조가 드러난다.
• N=2일 경우, CNOT 게이트를 사용하여 현재의 양자 컴퓨터에서 실현 가능하며, 얽힘 제어의 실험적 벤치마킹이 가능하다.
• 시스템은 가역적인 고전적 세포자동기처럼 보이게 하는 기저에서 분석되며, 고전적 메시지가 격자 전역으로 단방향으로 방송된다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 제어 가능한 혼돈을 갖는 양자 격자 장 이론 모델에서 리아풀로프 지수와 얽힘 엔트로피 진동을 분석적으로 계산할 수 있는가?
• RQ2 공간 영역 간의 얽힘 생성 속도는 힐베르트 공간 차원 N에 따라 어떻게 스케일링되며, 리아풀로프 지수에 의해 결정되지 않고 log(N)에 의해 결정되는가?
• RQ3 특정 초기 상태를 선택함으로써 얽힘을 동적으로 억제하거나 특정 영역에 국소화시킬 수 있는가? 특히 고전적 동역학에서는 이러한 제어가 불가능한 양자 영역에서의 경우이다.
• RQ4 양자 효과로 인해 반고전적 근사가 어느 정도 붕괴되며, 이러한 붕괴가 발생하는 시간 스케일은 언제인가?
• RQ5 이러한 모델은 CNOT와 같은 표준 양자 게이트를 사용하여 근접한 양자 컴퓨터에서 실현 가능한가?

주요 결과

• 큰 N에서 리아풀로프 지수는 고전적 단일 회전 행렬에서 유도된 단일 행렬의 대각화를 통해 분석적으로 계산할 수 있다.
• 일반적인 초기 상태의 광범위한 클래스에서, 공간 영역 간의 얽힘 엔트로피 생성은 리아풀로프 지수에 독립적으로 log(N) 이하로 유계이다.
• 반고전적 초기 상태(불확실성 최소화)의 경우, 얽힘 성장 속도는 최대 리아풀로프 지수의 합에 의해 제어되며, 반고전적 기대와 일치한다.
• 모델은 자기 유사성 동역학을 보이며, N=2의 경우 얽힘 진동에서 시에르핀스키 삼각형과 같은 프랙탈 구조를 보인다.
• 수신 영역이 하다마드 상태의 곱으로 준비될 경우, 영역 간의 얽힘은 완전히 정지될 수 있으며, 이는 고전적 동역학에서는 존재하지 않는 순수한 양자 효과이다.
• N=2 모델은 현재의 양자 컴퓨터에서 CNOT 게이트를 사용하여 실현 가능하며, 제어 가능한 얽힘과 메시지 방송의 실험적 연구를 가능하게 한다.