[논문 리뷰] A Truly Conformable Calculus on Time Scales

Benaoumeur Bayour, Ahmed Hammoudi외 1명|arXiv (Cornell University)|2017. 05. 24.

Fractional Differential Equations Solutions참고 문헌 10인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 임의의 시간 척도 위에서 진정으로 일관된 미적분을 정의하기 위해 α=0일 때 항등원으로, α=1일 때 표준 델타 도함수로 수렴하는 새로운 일관된 델타 도함수 연산자 Δ^α를 도입한다. 주요 기여는 시간 척도 위에서 일관된 미적분의 통합 프레임워크를 제공함으로써 고전적 일관된 도함수를 일반화하고, 일관된 삼각함수 및 쌍곡함수의 연구를 가능하게 하며, 시간 척도 위의 지수 함수를 통해 선형 일관된 동적 방정식의 해를 도출하는 데 있다.

ABSTRACT

We introduce the definition of conformable derivative on time scales and develop its calculus. Fundamental properties of the conformable derivative and integral on time scales are proved. Linear conformable differential equations with constant coefficients are investigated, as well as hyperbolic and trigonometric functions.

연구 동기 및 목표

• 기존의 시간 척도 위에서의 일관된 도함수는 α→0일 때 항등원 연산자로 수렴하지 않아 발생하는 한계를 해결하기 위해.
• 모든 정규화된 연속 함수에 대해 Δ^0f = f 및 Δ^1f = f^Δ를 만족하는 진정으로 일관된 도함수 연산자 Δ^α를 개발하기 위해.
• 실수선을 초월하여 일반적인 시간 척도로 일관된 도함수 이론을 확장하면서 기본 미적분 성질을 유지하기 위해.
• 시간 척도 위의 지수 함수를 통해 일관된 삼각함수 및 쌍곡함수를 수립하고 기본 항등식을 유도하기 위해.

제안 방법

• κ₀(α,t) 및 κ₁(α,t)가 특정한 극한 조건을 만족하는 정규화된 연속 함수일 때, 일관된 델타 도함수 Δ^αf(t) = κ₁(α,t)f(t) + κ₀(α,t)f^Δ(t)를 정의한다.
• Δ^α가 일관성을 가지기 위해, lim_{α→0⁺} κ₁(α,t) = 1, lim_{α→0⁺} κ₀(α,t) = 0, lim_{α→1⁻} κ₁(α,t) = 0, lim_{α→1⁻} κ₀(α,t) = 1을 요구한다.
• 일관된 도함수를 사용하여 시간 척도 위의 지수 함수 E_{ip}(·,t₀)를 구성함으로써 표준 지수 함수를 일반화한다.
• 일관된 삼각함수를 cos_{γΔ^α}(t,t₀) = (E_{iγ}(t,t₀) + E_{-iγ}(t,t₀))/2 및 sin_{γΔ^α}(t,t₀) = (E_{iγ}(t,t₀) - E_{-iγ}(t,t₀))/(2i)로 정의한다.
• cos²_{γΔ^α} + sin²_{γΔ^α} = E_{ip}(·,t₀)E_{-ip}(·,t₀)와 같은 기본 항등식을 도출하고 직접 계산을 통해 검증한다.
• 비퇴직성 조건 하에, Δ^αΔ^αy + γ²y = 0의 해가 y(t) = c₁cos_{γΔ^α}(t,t₀) + c₂sin_{γΔ^α}(t,t₀)로 주어짐을 증명한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 시간 척도 위에서의 일관된 도함수는 어떻게 정의할 수 있는가? 이는 α=0일 때 항등원 연산자로 수렴하고, α=1일 때 표준 델타 도함수로 수렴해야 한다.
• RQ2 도함수 연산자 Δ^α의 일관성을 보장하기 위해 필요한 충분한 조건은 κ₀(α,t) 및 κ₁(α,t)에 대해 무엇인가?
• RQ3 시간 척도 위의 일관된 삼각함수 및 쌍곡함수는 표준 지수 함수와 어떻게 관련이 있는가?
• RQ4 시간 척도 위에서 형식 Δ^αΔ^αy + γ²y = 0을 만족하는 선형 일관된 동적 방정식의 일반 해는 어떻게 구성되는가?
• RQ5 일관된 sine 및 cosine 함수의 와르농스키안이 비영이 되기 위한 조건은 무엇인가? 이는 기본 해 집합을 보장한다.

주요 결과

• 일관된 도함수 Δ^αf(t) = κ₁(α,t)f(t) + κ₀(α,t)f^Δ(t)는 Δ^0f = f 및 Δ^1f = f^Δ를 만족하여 임의의 시간 척도 위에서 진정으로 일관된 미적분을 수립한다.
• 일관된 지수 함수 E_{ip}(t,t₀)는 일관된 도함수를 통해 정의되며, 시간 척도 위의 표준 지수 함수를 일반화한다.
• 일관된 삼각함수는 항등식 cos²_{γΔ^α}(t,t₀) + sin²_{γΔ^α}(t,t₀) = E_{ip}(t,t₀)E_{-ip}(t,t₀)를 만족하며, 피타고라스 항등식을 일반화한다.
• ℝ에 대해, 일관된余弦 및 사인 함수는 각각 e^{-∫_{t₀}^t κ₁(s,t₀)/κ₀(s,t₀) ds} cos(∫_{t₀}^t γ/κ₀(s,t₀) ds) 및 e^{-∫_{t₀}^t κ₁(s,t₀)/κ₀(s,t₀) ds} sin(∫_{t₀}^t γ/κ₀(s,t₀) ds)로 축소된다.
• 일관된 동적 방정식 Δ^αΔ^αy + γ²y = 0의 일반 해는 y(t) = c₁cos_{γΔ^α}(t,t₀) + c₂sin_{γΔ^α}(t,t₀)로 주어지며, 와르농스키안이 비영일 경우에 성립한다.
• 일관된 사인 및余弦 함수의 와르농스키안은 γE_{ip}(t,t₀)E_{-ip}(t,t₀)이며, 조건 κ²₀ - 2μκ₀κ₁ + μ²(γ² + κ²₁) ≠ 0를 만족할 경우 비영이 되어 선형 독립성을 보장한다.