[논문 리뷰] A Two-Way Transformed Factor Model for Matrix-Variate Time Series

Zhaoxing Gao, Ruey S. Tsay|arXiv (Cornell University)|2020. 11. 18.

Spectroscopy and Chemometric Analyses참고 문헌 33인용 수 6

한 줄 요약

이 논문은 고차원 행렬변량 시계열을 위한 이중 변환因수모델을 제안하며, 비특이 행과 열 변환을 사용하여 데이터를 동적으로 의존하는 공통因수와 화이트 노이즈 성분으로 투영한다. 이 방법은 발산하는 고유값을 처리하기 위해 이중 투영 주성분 분석(PCA)을 활용하며, 표본 크기가 증가함에 따라 고정 및 발산 차원 모두에서 일致한 추정을 달성한다. 강력한 점근적 성질과 뛰어난 예측 성능을 보인다.

ABSTRACT

We propose a new framework for modeling high-dimensional matrix-variate time series by a two-way transformation, where the transformed data consist of a matrix-variate factor process, which is dynamically dependent, and three other blocks of white noises. Specifically, for a given $p_1 imes p_2$ matrix-variate time series, we seek common nonsingular transformations to project the rows and columns onto another $p_1$ and $p_2$ directions according to the strength of the dynamic dependence of the series on the past values. Consequently, we treat the data as nonsingular linear row and column transformations of dynamically dependent common factors and white noise idiosyncratic components. We propose a common orthonormal projection method to estimate the front and back loading matrices of the matrix-variate factors. Under the setting that the largest eigenvalues of the covariance of the vectorized idiosyncratic term diverge for large $p_1$ and $p_2$, we introduce a two-way projected Principal Component Analysis (PCA) to estimate the associated loading matrices of the idiosyncratic terms to mitigate such diverging noise effects. A diagonal-path white noise testing procedure is proposed to estimate the order of the factor matrix. %under the assumption that the idiosyncratic term is a matrix-variate white noise process. Asymptotic properties of the proposed method are established for both fixed and diverging dimensions as the sample size increases to infinity. We use simulated and real examples to assess the performance of the proposed method. We also compare our method with some existing ones in the literature and find that the proposed approach not only provides interpretable results but also performs well in out-of-sample forecasting.

연구 동기 및 목표

• 벡터화를 피하고 매트릭스 구조를 유지하는 통계적으로 타당한 프레임워크를 개발하여 고차원 행렬변량 시계열을 모델링한다.
• 기존因수모델이 이차적 성분의 공분산에서 유한한 고유값을 가정하는 한계를 해결한다. 이 조건은 금융 및 경제 분야와 같은 고차원 설정에서 자주 위반된다.
• 공통 로딩 매트릭스를 통해 행과 열 방향에서의 동적 의존성을 식별하는 이중 변환 접근법을 제안한다.
• 벡터화된 이차적 성분에서 발산하는 고유값의 영향을 줄이기 위해 이중 투영 PCA 방법을 활용한다.
• 표본 크기가 증가함에 따라 고정 및 발산 차원 모두에서 추정기의 점근적 일치성을 확립한다.

제안 방법

• 관측된 행렬변량 시계열이 동적으로 의존하는 공통因수와 화이트 노이즈 성분의 선형 변환으로 표현되는 이중 변환 모델을 제안한다.
• 공통 정규직교 투영 방법을 사용하여 매트릭스변량因수의 앞서고 뒤로 향하는 로딩 매트릭스를 추정한다.
• 특히 고차원 설정에서 발산하는 고유값을 다룰 수 있도록 설계된 이중 투영 PCA를 사용하여 이차적 성분의 로딩 매트릭스를 추정한다.
• 요소 과정의 차수를 일관되게 추정하기 위해 대각경로 화이트 노이즈 검정 절차를 도입한다.
• 고유값 분석과 크로네커乘법 구조를 활용하여 매트릭스 형태를 살리고 매개변수 공간을 줄인다.
• 일반 조건 하에서 점근적 성질을 확립하며, 노이즈 및因수 과정에 대해 서브가우시안성과 모멘트 제약 조건을 포함한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 이중 변환 프레임워크는 매트릭스변량 시계열의 행과 열 차원에서의 동적 의존성을 효과적으로 모델링할 수 있는가?
• RQ2 고차원 매트릭스변량因수모델에서 이차적 성분의 공분산에서 발산하는 고유값은 어떻게 완화할 수 있는가?
• RQ3 표본 크기가 증가함에 따라 고정 및 발산 차원 모두에서 제안된 추정기의 점근적 행동은 어떠한가?
• RQ4 고유값이 발산할 경우, 이중 투영 PCA 방법은 표준 PCA보다 이차적 성분을 더 잘 추정하는가?
• RQ5 대각경로 화이트 노이즈 검정은 매트릭스변량 시계열 설정에서 요소 수를 신뢰성 있게 결정할 수 있는가?

주요 결과

• 제안된 이중 변환因수모델은 표본 크기가 무한히 증가함에 따라 고정 및 발산 차원 모두에서 로딩 매트릭스의 일치 추정을 달성한다.
• 이중 투영 PCA 방법은 이차적 성분의 공분산 행렬에서 발산하는 고유값의 악영향을 성공적으로 완화한다.
• 대각경로 화이트 노이즈 검정은 고차원 설정에서도 요소 과정의 차수에 대해 일관된 추정기를 제공한다.
• 점근적 정규성과 수렴 속도가 확립되었으며, 적절한 조건 하에서 추정 오차는 $ O_p(p_1^{1+2 heta_1 - heta_2} p_2^{1+2 heta_1 - heta_2} n^{-1}) $ 의 속도로 감소한다.
• 모델은 시뮬레이션 및 실데이터 예제에서 기존 방법보다 뛰어난 외부 예측 성능을 보이며, 강력한 예측 성능을 발휘한다.
• 모델은 매트릭스 구조를 유지함으로써 해석 가능한 결과를 도출하며, 행과 열 방향에서 의미 있는 동적 패턴을 식별한다.