[논문 리뷰] A unification of the coding theory and OAQEC perspective on hybrid codes

Shayan Majidy|arXiv (Cornell University)|2018. 06. 10.

Quantum Information and Cryptography참고 문헌 1인용 수 6

한 줄 요약

이 논문은 하이브리드 양자-고전적 오류 수정 부호에 대한 부호 이론과 연산자 대수 양자 오류 수정(Coding Theory and Operator Algebraic Quantum Error Correction, OAQEC)의 관점을 통합하여, 이들이 동치임을 증명하고, 부호 이론이 OAQEC의 특수한 경우임을 보여준다. 또한 양자 하밍 경계를 하이브리드 부호로 일반화하여, 비자명한 하이브리드 부호는 반드시 열악한 성질을 가져야 하며, 한 개의 큐비트와 한 개의 고전적 비트를 전송하고 단일 오류 탐지 기능을 갖춘 4 큐비트 비열악한 하이브리드 부호를 구성한다.

ABSTRACT

There is an advantage in simultaneously transmitting both classical and quantum information over a quantum channel compared to sending independent transmissions. The successful implementation of simultaneous transmissions of quantum and classical information will require the development of hybrid quantum-classical error-correcting codes, known as hybrid codes. The characterization of hybrid codes has been performed from a coding theory perspective and an operator algebra quantum error correction (OAQEC) perspective. First, we demonstrate that these two perspectives are equivalent and that the coding theory characterization is a specific case of the OAQEC model. Second, we include a generalization of the quantum Hamming bound for hybrid error-correcting codes. We discover a necessary condition for developing non-trivial hybrid codes -- they must be degenerate. Finally, we construct an example of a non-trivial degenerate 4-qubit hybrid code.

연구 동기 및 목표

• 부호 이론과 OAQEC가 하이브리드 부호에 대해 수학적으로 동치임을 확립하고, 후자가 전자의 특수한 경우임을 보여주기 위해.
• 양자 하밍 경계를 하이브리드 오류 수정 부호로 일반화하고, 그 부호 매개변수에 가해지는 제약 조건을 도출하기 위해.
• 비자명한 하이브리드 부호의 존재에 필요한 조건을 규명하기 위해 — 즉, 그것들이 반드시 열악한 성질이어야 한다는 조건.
• 작은 수의 큐비트로 구현 가능한 비자명한 4 큐비트 하이브리드 부호의 구체적 예를 구성하기 위해.

제안 방법

• 하이브리드 부호를 OAQEC 프레임워크를 사용하여 수식화하여, 힐버트 공간 내의 부분공간으로 정의하고, 각기 다른 양자 부호를 식별하는 고전적 인덱스를 포함한다.
• 부호 이론적 특성화를 OAQEC 모델의 특정 사례로 재구성하여, 두 접근법 간의 상호 교류를 가능하게 한다.
• M개의 고전적 상태와 2^k개의 양자 부호어를 고려하여 양자 하밍 경계를 일반화하여, 부등식 $M \sum_{j=0}^{t} \binom{n}{j} 3^j 2^k \leq 2^n$ 을 도출한다.
• 일반화된 경계의 함의를 분석하여, 비열악한 하이브리드 부호는 동등한 양자 부호보다 성능이 떨어질 수 없음을 보여준다.
• 논리 상태 $\ket{\bar{0}}_0 = \ket{0000} + \ket{1111}$ 등으로 구성된 4 큐비트 하이브리드 부호를 $[[4,1:1,2]]$ 매개변수로 구성한다. 이 부호는 모든 단일 큐비트 파울리 오류를 탐지할 수 있다.
• 오류 집합 $\{X_i, Y_i, Z_i, Z_1Z_2, Z_3Z_4\}$ 에 대해 $i=1,2,3,4$ 일 때, 부호의 불변성을 검증함으로써 오류 탐지 능력을 검증한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 부호 이론과 OAQEC가 하이브리드 부호에 대해 수학적으로 동치인가? 만약 그렇다면, 그들 사이의 관계는 어떠한가?
• RQ2 양자 하밍 경계를 하이브리드 부호로 일반화할 수 있는가? 그리고 이 경계는 부호 매개변수에 어떤 제약 조건을 가하는가?
• RQ3 비자명한 하이브리드 부호의 경우 열악함이 반드시 필요한 조건인가? 그 이유는 무엇인가?
• RQ4 소수의 큐비트로 실현 가능한 비자명한 하이브리드 부호를 구성할 수 있는가?

주요 결과

• 부호 이론과 OAQEC가 하이브리드 부호에 대해 수학적으로 동치이며, 부호 이론은 OAQEC의 특수한 경우임을 보여준다.
• 하이브리드 부호에 대한 일반화된 양자 하밍 경계는 $M \sum_{j=0}^{t} \binom{n}{j} 3^j 2^k \leq 2^n$ 이며, 이는 고전적 정보를 포함하여 표준 양자 경계를 일반화한 것이다.
• 비자명한 하이브리드 부호는 반드시 열악한 성질이어야 하며, 비열악한 하이브리드 부호는 동등한 양자 부호보다 매개변수 측면에서 성능이 떨어지지 않는다.
• 매개변수 $[[4,1:1,2]]$ 를 갖는 4 큐비트 비자명한 하이브리드 부호가 명시적으로 구성되었으며, 이 부호는 모든 단일 큐비트 파울리 오류를 탐지할 수 있다.
• 구성된 부호는 한 개의 논리 큐비트와 한 개의 고전적 비트를 전송하며, 논리 상태는 $\ket{\bar{0}}_0 = \ket{0000} + \ket{1111}$, $\ket{\bar{1}}_0 = \ket{0011} - \ket{1100}$, $\ket{\bar{0}}_1 = \ket{0101} + \ket{1010}$, $\ket{\bar{1}}_1 = \ket{1001} - \ket{0110}$ 이다.
• 유사한 상태들이 핵자기공명 실험에서 이미 준비된 바가 있어, 이 부호는 현재의 양자 하드웨어로 물리적으로 실현 가능하다.