[논문 리뷰] A Unified Framework for Multiscale Modeling using the Mori-Zwanzig Formalism and the Variational Multiscale Method

Eric Parish, Karthik Duraisamy|arXiv (Cornell University)|2017. 12. 27.

Advanced Mathematical Modeling in Engineering참고 문헌 19인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 비선형 PDE의 다스케일 모델링을 위한 체계적이고 수학적으로 엄밀한 프레임워크를 만들기 위해 모리-ツワン츠ィ그(Mori-Zwanzig, MZ) 형식과 변분 다스케일(Variational Multiscale, VMS) 방법을 통합한다. 유한요소법에서 해석되지 않은 스케일에 대한 비마르코프성이고 기억적분 형태의 폐쇄를 도출하며, 유한기억 MZ 모델이 선형 이동에서 업윈드 플럭스 보정으로 감소함을 보이며, 이는 인공 점성과 안정화된 유한요소 방법과 수학적으로 동치임을 보여준다.

ABSTRACT

We describe a paradigm for multiscale modeling that combines the Mori-Zwanzig (MZ) formalism of Statistical Mechanics with the Variational Multiscale (VMS) method. The MZ-VMS approach leverages both VMS scale-separation projectors as well as phase-space projectors to provide a systematic modeling approach that is applicable to non-linear partial differential equations. Spectral as well as continuous and discontinuous finite element methods are considered. The framework leads to a formally closed equation in which the effect of the unresolved scales on the resolved scales is non-local in time and appears as a convolution or memory integral. The resulting non-Markovian system is used as a starting point for model development. We discover that unresolved scales lead to memory effects that are driven by an orthogonal projection of the coarse-scale residual and inter-element jumps. It is further shown that an MZ-based finite memory model is a variant of the well-known adjoint-stabilization method. For hyperbolic equations, this stabilization is shown to have the form of an artificial viscosity term. We further establish connections between the memory kernel and approximate Riemann solvers. It is demonstrated that, in the case of one-dimensional linear advection, the assumption of a finite memory and a linear quadrature leads to a closure term that is formally equivalent to an upwind flux correction.

연구 동기 및 목표

• 다스케일 PDE에서 해석되지 않은 스케일을 모델링하기 위한 체계적이고 수학적으로 일致된 프레임워크를 개발하는 것.
• 유한요소 이산화의 맥락에서 변분 다스케일(VMS) 방법과 모리-츠완츠긴(MZ) 형식 사이의 격차를 메우는 것.
• 해석된 스케일에 해석되지 않은 스케일이 시간에 국한되지 않는 기억적분을 통해 影響을 미치는 공식적으로 폐쇄된 비마르코프 시스템을 유도하는 것.
• MZ 기반 기억 커널과 인접한 안정화 및 인공 점성과 같은 기존의 안정화 기법 간의 관계를 확립하는 것.
• 선형 이동에서 유한기억 MZ 모델이 알려진 수치적 플럭스 보정, 예를 들어 업윈드 플럭스 보정을 복원함을 보이는 것.

제안 방법

• 해석된 스케일과 해석되지 않은 스케일로 분해하기 위해 VMS 스케일 분리 투영자와 MZ 위상공간 투영자를 결합한다.
• 해석된 스케일에 대해 해석되지 않은 스케일의 국소적이지 않은 영향을 나타내는 기억적분을 포함한 일반화된 랑주뱅 방정식(GLE)을 유도한다.
• 연속적 및 비연속 갈레르킨 유한요소 방법에 이 프레임워크를 적용하며, 기억 기여도를 잔여항과 요소 간 점프로부터 분리하기 위해 수직 투영을 사용한다.
• MZ 형식에서 기억 커널을 구성하기 위해 코arse-scale 잔여항과 요소 간 점프의 수직 투영을 사용한다.
• 수치적 플럭스 함수와 기저 함수 투영을 사용하여 비연속 갈레르킨 방법에 대해 기억 커널을 명시적으로 유도한다.
• 일차원 선형 이동에서 유한기억과 선형 적분을 가정하면, 폐쇄항이 업윈드 플럭스 보정과 수학적으로 동치임을 보인다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 모리-츠완츠긴 형식이 변분 다스케일 방법과 체계적으로 통합되어 PDE의 통합 다스케일 모델링 프레임워크를 생성할 수 있는가?
• RQ2 해석되지 않은 스케일이 비마르코프 방식으로 해석된 스케일에 영향을 미치는 방식은 무엇이며, 이는 유한요소 방법에서 기억적분을 통해 포착될 수 있는가?
• RQ3 MZ 기반 기억 커널과 인접한 안정화 및 인공 점성과 같은 전통적 안정화 기법 간의 관계는 무엇인가?
• RQ4 선형 이동에 대한 유한기억 MZ 모델이 비연속 갈레르킨 프레임워크에서 잘 알려진 업윈드 플럭스 보정을 복원하는가?
• RQ5 기본 수치 플럭스 함수와 관련하여 기억 커널을 명시적으로 계산하고, 비연속 유한요소 방법에서 이를 연결할 수 있는가?

주요 결과

• MZ-VMS 프레임워크는 해석되지 않은 스케일이 시간에 국한되지 않는 기억적분을 통해 해석된 스케일에 영향을 미치는 공식적으로 폐쇄된 비마르코프 시스템을 산출한다.
• 기억 커널은 코arse-scale 잔여항과 요소 간 점프의 수직 투영에 의해 구동되며, 정확한 모델링에 있어 핵심적인 역할을 한다.
• MZ 기반의 유한기억 모델은 인접한 안정화 방법과 수학적으로 동치이며, 통계역학과 수치 안정화 간의 엄밀한 연결 고리를 확립한다.
• 쌍곡형 방정식의 경우 안정화가 인공 점성 항의 형태로 나타나며, 전통적인 수치 방법과 일치한다.
• 일차원 선형 이동에서 유한기억과 선형 적분을 가정하면, 폐쇄항이 업윈드 플럭스 보정과 수학적으로 동치가 된다.
• 유도된 기억 커널은 수치적 플럭스 함수에 명시적으로 의존하며, 중심 플럭스의 경우 기억 길이가 적절히 스케일링되면 얻어진 안정화가 업윈드 보정과 일치한다.