[논문 리뷰] A Unified View of False Discovery Rate Control: Reconciliation of Bayesian and Frequentist Approaches

Xiaoquan Wen|arXiv (Cornell University)|2018. 03. 14.

Statistical Methods in Clinical Trials참고 문헌 16인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 오라클 조건 하에서 두 그룹 모형을 바탕으로 베이지안 및 빈도주의적 가짜 발현률(FDR) 통제 간 渐近적 등가성을 확립하며, 두 접근 방식이 임의의 수준에서 일致하는 FDR 통제를 제공함을 보여준다. 또한, 엄밀한 피팅 후 모형 진단이 강건한 베이지안 FDR 통제를 위해 필수적임을 입증하고, 비교형 가설에 있어서 p-값이 빈도주의 FDR 통제에서 최적의 도구가 되지 못함을 밝혀낸다.

ABSTRACT

This paper explores the intrinsic connections between the Bayesian false discovery rate (FDR) control procedures and their counterpart of frequentist procedures. We attempt to offer a unified view of FDR control within and beyond the setting of testing exchangeable hypotheses. Under the standard two-groups model and the Oracle condition, we show that the Bayesian and the frequentist methods can achieve asymptotically equivalent FDR control at arbitrary levels. Built on this result, we further illustrate that rigorous post-fitting model diagnosis is necessary and effective to ensure robust FDR controls for parametric Bayesian approaches. Additionally, we show that the Bayesian FDR control approaches are coherent and naturally extended to the setting beyond testing exchangeable hypotheses. Particularly, we illustrate that $p$-values are no longer the natural statistical instruments for optimal frequentist FDR control in testing non-exchangeable hypotheses. Finally, we illustrate that simple numerical recipes motivated by our theoretical results can be effective in examining some key model assumptions commonly assumed in both Bayesian and frequentist procedures (e.g., zero assumption).

연구 동기 및 목표

• 다중 가설 검정에서 베이지안 및 빈도주의적 가짜 발현률(FDR) 통제 접근 방식을 통합하는 것.
• 베이지안 및 빈도주의적 FDR 통제 절차가 渐近적으로 동일한 결과를 도출할 수 있는 필수 및 충분 조건을 규명하는 것.
• 피팅 후 모형 진단을 통한 파rametric 베이지안 FDR 방법의 강건성에 대해 조사하는 것.
• 비교형 가설을 초월한 FDR 통제의 확장과 비교형 설정에서 p-값의 최적성 평가.
• 베이지안 및 빈도주의 프레임워크에서 핵심 모형 가정(예: 제로 가정)을 진단하기 위한 수치적 요령 개발

제안 방법

• 알려진 귀무분포 $f_0$와 미지의 대립분포 $f_1$을 가진 두 그룹 모형을 사용하며, 검정 통계량의 비교형성을 가정한다.
• 베이지안 FDR은 후행 확률(지역 fdr)을 통해 정의하고, 빈도주의 FDR은 p-값을 통해 정의하며, $\pi_0$의 오라클 추정치 하에서 그들의 渐近적 행동을 비교한다.
• 순서통계량 $\hat{u}_i = \mathbb{E}[\mathbf{1}\{\gamma_i=0\} \mid \hat\pi_0, z_i]$을 활용해 베이지안 FDR 임계치를 정의한다.
• 확률 한계와 Helly-Bray 정리를 활용해 베이지안 FDR 추정치가 빈도주의 FDR 추정치로 수렴함을 확립한다.
• 코모고로프의 강한 대수법칙을 적용해 순서통계량 하에서 BFDR이 거의 확실히 FDR로 수렴함을 보인다.
• 베이즈 요인과 p-값 사이의 단조적 변환을 유도해 $\hat{u}_{(i)}$와 $p_{(i)}$를 연결함으로써 渐近적 등가성을 가능하게 한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 베이지안 및 빈도주의 FDR 통제 절차가 어떤 조건에서 渐近적으로 동일한 FDR 통제를 달성하는가?
• RQ2 피팅 후 모형 진단은 파rametric 베이지안 FDR 통제 절차의 강건성을 어떻게 확보하는가?
• RQ3 비교형 가설을 검정할 경우, p-값은 빈도주의 FDR 통제에서 최적의 도구인가?
• RQ4 베이지안 FDR 통제는 비교형 가설 검정 설정을 초월해 일관적으로 확장될 수 있는가?
• RQ5 핵심 가정(예: 제로 가정)을 효과적으로 평가하기 위한 수치적 진단 방법는 무엇인가?

주요 결과

• 두 그룹 모형과 오라클 조건 하에서, 베이지안 및 빈도주의 FDR 통제 절차는 임의의 원하는 수준에서 渐近적으로 동일한 FDR 통제를 달성한다.
• 베이지안 FDR 추정치 $\widehat{\text{BFDR}}(t_{b,i} = \hat{u}_{(i)}; \hat{\pi}_0)$는 모든 $i$에 대해 확률적 수렴을 통해 빈도주의 FDR 추정치 $\text{FDR}(t_{f,i} = p_{(i)}; \hat{\pi}_0)$로 수렴한다.
• $\hat{\pi}_0 \xrightarrow{p} \pi_0$일 때, 베이지안 FDR 추정치는 임계치 $u^{*}_{(i)}$에서 진짜 베이지안 FDR로 확률적 수렴을 이룬다.
• 피팅 후 모형 진단은 파rametric 베이지안 FDR 통제 절차의 강건성을 확보하기 위해 필수적이며 효과적이다.
• 비교형 가설에 대해서는 p-값이 더 이상 최적의 도구가 되지 못한다.
• 이론적 결과를 바탕으로 한 수치적 요령은 베이지안 및 빈도주의 FDR 프레임워크에서 핵심 가정(예: 제로 가정)을 진단하는 데 효과적이다.