[논문 리뷰] A unifying approach to branching processes in varying environments

Götz Kersting|arXiv (Cornell University)|2017. 03. 06.

Stochastic processes and statistical mechanics참고 문헌 17인용 수 8

한 줄 요약

이 논문은 변화하는 환경에서의 분할 과정(BPVEs)에 대한 통합 프레임워크를 제시하며, 거의 확실히 멸종되는 조건, 마팅게일의 2차 적분 가능성, 그리고 지수 근사 분포로의 야글롬 유형 수렴을 수립한다. 후손 분포의 두 번째 모멘트에 대해 약간의 균일성 조건을 가정할 경우, 저자들은 BPVEs를 임계, 초임계, 초임계로 분류하는 기준을 도출하며, 기존 문헌의 결과를 최소한의 가정으로 통합하고 확장한다.

ABSTRACT

Branching processes $(Z_n)_{n \ge 0}$ in a varying environment generalize the Galton-Watson process, in that they allow time-dependence of the offspring distribution. Our main results concern general criteria for a.s. extinction, square-integrability of the martingale $(Z_n/\mathbf E[Z_n])_{n \ge 0}$, properties of the martingale limit $W$ and a Yaglom type result stating convergence to an exponential limit distribution of the suitably normalized population size $Z_n$, conditioned on the event $Z_n >0$. The theorems generalize/unify diverse results from the literature and lead to a classification of the processes.

연구 동기 및 목표

• 시간에 따라 변화하는 후손 분포를 允허하는 기존의 분할 과정에 대한 결과들을 통합하고 일반화하는 것.
• 거의 확실히 멸종되는 조건, 정규화된 인구수 마팅게일의 2차 적분 가능성, 그리고 생존 조건 하에서의 인구수의 분포 수렴에 대한 일반 기준을 수립하는 것.
• 일관된 조건 집합을 사용하여 BPVEs를 임계, 초임계, 초임계로 분류하는 것.
• 후손 수의 평균에 대한 두 번째 계승 모멘트의 균일성이라는 약간의 정규성 조건을 식별하여, 일반적이지 않은 행동을 제거하고 병리적인 성장 또는 멸종 패tern을 배제하는 것.

제안 방법

• 후손 분포의 두 번째 계승 모멘트가 평균과 적어도 한 명의 후손이 존재할 확률의 곱에 대해 균일하게 유계임을 요구하는 정규성 조건(A)을 도입한다.
• 생산 함수와 재귀적 모멘트 분석을 사용하여 세대 간 인구수 $ Z_n $의 평균과 두 번째 계승 모멘트를 특성화한다.
• 마팅게일 수렴 이론과 라플라스 변환 기법을 적용하여 $ Z_n $의 비재생 조건 하에서의 극한 행동을 분석한다.
• $ \mathbf{E}[Z_n \mid Z_n > 0] $의 수렴성과 합 $ \sum_{k=1}^n \nu_k / \mu_{k-1} $의 발산성 사이의 동치성을 수립한다. 여기서 $ \nu_k $는 시간 $ k $에서의 정규화된 두 번째 계승 모멘트이고 $ \mu_k $는 평균 후손 수이다.
• 생산 함수의 점근적 전개와 지수 모멘트 추정을 사용하여 야글롬 유형 근사 정리를 도출하며, 적절한 정규화 하에서 $ Z_n / b_n $ 가 지수 분포로 분포 수렴함을 보인다.
• 임계 영역에서 생존 확률 $ \mathbf{P}(Z_n > 0) $ 가 $ \frac{1}{2} \sum_{k=1}^n \nu_k / \mu_{k-1} $ 와 점근적으로 동치임을 증명하며, 생존 확률을 후손 분포의 누적 분산과 연결한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 어떤 조건에서 변화하는 환경에서의 분할 과정이 거의 확실히 멸종하는가?
• RQ2 정규화된 인구수 $ Z_n / \mathbf{E}[Z_n] $ 가 2차 적분 가능한 마팅게일이 되는가? 그리고 그 극한의 성질은 무엇인가?
• RQ3 비재생 조건 하에서 인구수 $ Z_n $ 가 적절한 정규화 후에 지수 분포로 분포 수렴하는가?
• RQ4 모멘트 조건을 사용하여 BPVEs의 임계, 초임계, 초임계 영역를 통합적으로 특성화할 수 있는가?
• RQ5 어떤 정규성 조건이 BPVEs가 다수의 성장률 또는 점근적 비퇴화 현상을 보이지 않도록 보장하는가?

주요 결과

• 변화하는 환경에서의 분할 과정은 거의 확실히 $ \mathbb{N}_0 \cup \{\infty\} $ 안의 극한으로 수렴하며, 기대 인구수 $ \mathbf{E}[Z_n] \to 0 $ 인 경우에만 거의 확실히 멸종된다.
• 마팅게일 $ Z_n / \mathbf{E}[Z_n] $ 는 정규화된 두 번째 계승 모멘트 $ \nu_k $ 에 대해 합 $ \sum_{k=1}^\infty \nu_k / \mu_{k-1} $ 가 유한할 때에만 2차 적분 가능하다.
• 임계 영역에서, $ \sum_{k=1}^n \nu_k / \mu_{k-1} \to \infty $ 이고 $ 1/\mu_n = o(\sum_{k=1}^n \nu_k / \mu_{k-1}) $ 이면, $ b_n = \frac{\mu_n}{2} \sum_{k=1}^n \frac{\nu_k}{\mu_{k-1}} $ 를 사용하여 정규화한 인구수 $ Z_n / b_n $ 는 기대값 1인 지수 랜덤 변수로 분포 수렴한다.
• 임계 영역에서 생존 확률은 $ \mathbf{P}(Z_n > 0) \sim \frac{1}{2} \sum_{k=1}^n \frac{\nu_k}{\mu_{k-1}} $ 를 만족하며, 이는 생존과 후손 분포의 누적 분산 사이의 연결 고리를 제공한다.
• 정규성 조건 (A) 는 평균과 생존 확률에 대한 두 번째 계승 모멘트의 유계성을 요구하며, 이는 포isson, 이항, 기하 등 표준 분포들 모두에 대해 만족되며, 병리적 현상 없이 일반적인 행동을 보장한다.
• BPVEs의 임계, 초임계, 초임계 영역 분류는 $ \mu_n $ 과 $ \sum_{k=1}^n \nu_k / \mu_{k-1} $ 의 행동을 통해 통합적으로 이루어지며, 임계 영역은 합의 발산성과 $ \mu_n \to \infty $ 를 특징으로 하고, 초임계성은 $ \liminf_n \mu_n \sum_{k=1}^n \nu_k / \mu_{k-1} < \infty $ 와 동치이다.