[논문 리뷰] A user-guide to Gridap -- grid-based approximation of partial differential equations in Julia

Francesc Verdugo, Santiago Badia|arXiv (Cornell University)|2019. 10. 03.

Advanced Numerical Methods in Computational Mathematics참고 문헌 10인용 수 6

한 줄 요약

Gridap는 복잡한 편미분방정식(PDE)을 최소한의 표현력 있는 코드로 해결할 수 있도록 해주는 고성능, 오픈소스의 유닛리지 프로그래밍 언어인 줄리아(Julia) 기반 유한요소 라이브러리이다. 줄리아의 Just-in-Time 컴파일, 다형성, 지연 평가 데이터 구조를 활용하여, C/Fortran 수준의 성능를 달성하면서도 고수준 스크립팅 언어의 생산성을 유지한다. 선형 및 비선형 PDE 문제, 예를 들어 스토크스(Stokes) 및 라우지에르-스톡스(Stokes) 문제를 다루는 튜토리얼을 통해 이를 입증하였다.

ABSTRACT

We present Gridap, a new scientific software library for the numerical approximation of partial differential equations (PDEs) using grid-based approximations. Gridap is an open-source software project exclusively written in the Julia programming language. The main motivation behind the development of this library is to provide an easy-to-use framework for the development of complex PDE solvers in a dynamically typed style without sacrificing the performance of statically typed languages. This work is a tutorial-driven user guide to the library. It covers some popular linear and nonlinear PDE systems for scalar and vector fields, single and multi-field problems, conforming and nonconforming finite element discretizations, on structured and unstructured meshes of simplices and hexahedra.

연구 동기 및 목표

• 과학 계산에서의 두 언어 문제를 해결하기 위해, PDE 시뮬레이션에서 고생산성과 고성능을 통합한다.
• 성능을 희생시키지 않은 채 복잡한 유한요소 방법을 구현하기 위한 사용자 우호적이고 표현력 있는 프레임워크를 제공한다.
• 연구자와 학생들이 줄리아의 고수준 문법을 활용해 고급 PDE 솔버를 효율적으로 프로토타이핑하고 배포할 수 있도록 한다.
• 저수준의 어셈블리 및 데이터 구조를 추상화함으로써, 유한요소 방법의 개발 시간과 학습 곡률을 줄인다.
• 향후 확장 기반을 마련하기 위해, 병렬 처리, 적응형 메esh 정밀화, 고성능 솔버와의 통합 등을 포함한다.

제안 방법

• 명시적 타입 선언 없이도 고성능을 달성하기 위해 줄리아의 다형성과 타입 추론을 활용한다.
• 셀 단위 행렬과 벡터를 표현하기 위해 지연 평가 데이터 구조를 사용하여 어셈블리 루프를 추상화한다.
• 수학적 표기와 밀접하게 유사한 직관적인 LaTeX 유사 문법을 사용해 약한 형태(weak forms)를 정의한다.
• TrialFESpace, TestFESpace, MultiFieldFESpace와 같은 고수준 추상화를 통해 다중장 및 비선형 문제를 구현한다.
• 구조적 및 비구조적 메쉬에서 변분형식을 구성하기 위해 내장된 적분 규칙과 삼각분할을 활용한다.
• 비선형 문제를 위한 뉴턴 솔버와 선형 탐색 방법을 모듈러한 FESolver 인터페이스를 통해 통합한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 줄리아와 같은 고수준 동적 타입 언어가 C++ 또는 Fortran과 같은 정적 타입 언어 수준의 성능을 PDE 유한요소 솔버에서 달성할 수 있는가?
• RQ2 유한요소 어셈블리의 복잡성을 어떻게 추상화하여 코드의 가독성과 개발 생산성을 향상시킬 수 있는가?
• RQ3 줄리아의 다형성과 기능형 프로그래밍 패러다임을 얼마나 잘 활용하여 성능이 뛰어나고 조합 가능한 유한요소 프레임워크를 설계할 수 있는가?
• RQ4 한 개의 라이브러리가 일관되고 깔끔한 문법을 유지하면서도, 일치하는 유한요소와 비일치 유한요소, 혼합 및 다중장 수식을 모두 지원할 수 있는가?
• RQ5 과학 소프트웨어 라이브러리의 설계는 런타임 오버헤드를 최소화하면서도 타입 안정성을 유지하고 효율적인 JIT 컴파일을 가능하게 할 수 있는가?

주요 결과

• Gridap는 스토크스(Stokes) 및 라우지에르-스톡스(Stokes) 방정식과 같은 복잡한 PDE 문제를, 수학적 수식과 밀접하게 유사한 최소한의 가독성 있는 코드로 쉽게 구현할 수 있다.
• 줄리아의 Just-in-Time 컴파일과 타입 안정성 유지 및 동적 메모리 할당 최소화에 기반한 철저한 설계 덕분에 고성능을 달성한다.
• 셀 단위 기여도의 지연 평가를 통해 어셈블리 루프를 추상화함으로써 사용자 코드의 단순화를 크게 이룬다.
• 프레임워크는 단순체 및 육각형 메쉬를 포함한 구조적 및 비구조적 메쉬를 모두 지원하며, 일치 및 비일치 유한요소 이산화를 모두 구현할 수 있다.
• 뉴턴 방법을 사용하여 비선형 문제, 예를 들어 라우지에르-스톡스(Stokes) 방정식을 고수준 함수 정의를 통해 자동으로 잔차와 야코비안을 계산하여 효율적으로 해결한다.
• 튜토리얼 예제에서의 결과, 예를 들어 속도장의 유선 등은 프레임워크의 정확성과 사용 용이성을 시각화 및 분석에 활용할 수 있음을 확인한다.