[논문 리뷰] A variational Approach to complex Hessian equations in $\mathbb{C}^n$

Lu Hoang Chinh|arXiv (Cornell University)|2013. 01. 28.

Geometry and complex manifolds참고 문헌 23인용 수 14

한 줄 요약

이 논문은 복소 Hessian 방정식 $(dd^c\varphi)^m \wedge \beta^{n-m} = \mu$ 를 $\mathbb{C}^n$ 에서 $m$-하모닉 함수의 유한 에너지 클래스를 사용하여 변분적 접근법으로 해결한다. $\mathcal{E}^1_m(\Omega)$ 에서 해의 존재성과 유일성은 이 클래스의 모든 함수들이 $\mu$-적분 가능할 때이고, $\mathcal{F}_m(\Omega)$ 에서는 $\mu$ 가 유한한 질량을 가지며 $m$-극점 집합을 가리키지 않을 때이다.

ABSTRACT

Let $Ω$ be a $m$-hyperconvex domain of $\mathbb{C}^n$ and $β$ be the standard Kähler form in $\mathbb{C}^n$. We introduce finite energy classes of $m$-subharmonic functions of Cegrell type, $\mathcal{E}_m^p, p>0$ and $\mathcal{F}_m$. Using a variational method we show that the degenerate complex Hessian equation $(dd^cφ)^m\wedge β^{n-m}=μ$ has a unique solution in $\mathcal{E}_m^1$ if and only if every function in $\mathcal{E}_m^1$ is integrable with respect to $μ$. If $μ$ has finite total mass and does not charge $m$-polar sets, then the equation has a unique solution in $\mathcal{F}_m$.

연구 동기 및 목표

• 복소 $m$-Hessian 방정식의 해를 구하기 위한 변분 프레임워크를 수립하는 것.
• 유한 에너지 클래스 $\mathcal{E}^p_m(\Omega)$ 와 $\mathcal{F}_m(\Omega)$ 를 정의하고 $m$-하모닉 함수의 성질을 연구하는 것.
• 측도 $\mu$ 에 대한 적분 가능성과 용량 조건을 통해 복소 Hessian 방정식 $(dd^c\varphi)^m \wedge \beta^{n-m} = \mu$ 의 해의 존재 조건을 특성화하는 것.
• 복소 몽게-암페르 경우에서 더 일반적인 복소 Hessian 설정으로 변분 방법을 일반화하는 것.

제안 방법

• Hessian 측도 $H_m(\varphi) = (dd^c\varphi)^m \wedge \beta^{n-m}$ 와 함께 $\varphi$ 의 적분 가능성을 바탕으로 $m$-하모닉 함수의 유한 에너지 클래스 $\mathcal{E}^p_m(\Omega)$ 와 $\mathcal{F}_m(\Omega)$ 를 도입하는 것.
• $\mathcal{E}^1_m(\Omega)$ 에서 에너지와 질량 항을 포함하는 함수를 최소화하기 위해 [5] 에 영향을 받은 변분 방법을 적용하는 것.
• 비교 원리와 $m$-용량에서의 수렴을 이용하여 해의 유일성과 안정성을 확립하는 것.
• 횔더 부등식과 용량 추정을 활용하여 $\mu$ 의 $L^p$ 적분 가능성과 $\mathcal{F}_m^q(\Omega)$ 에의 소속 관계를 연결하는 것.
• $\mathcal{E}^0_m(\Omega)$ 내의 매끄러운 $m$-하모닉 함수로 $m$-하모닉 함수의 근사화를 구성하여 비교 원리를 확장하는 것.
• 단조 수렴 정리와 용량 추정을 사용하여 $m$-하모닉 함수의 수열과 그 Hessian 측도의 행동을 제어하는 것.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 양의 라돈 측도 $\mu$ 가 어떤 조건을 만족할 때, 비퇴화된 복소 Hessian 방정식 $(dd^c\varphi)^m \wedge \beta^{n-m} = \mu$ 가 $\mathcal{E}^1_m(\Omega)$ 에서 유일한 해를 가지는가?
• RQ2 총 질량이 유한한 측도 $\mu$ 에 대해 방정식이 $\mathcal{F}_m(\Omega)$ 에서 유일한 해를 가지는 조건은 무엇인가?
• RQ3 $\mu$ 에 대해 $m$-하모닉 함수의 적분 가능성과 $\mu$ 가 $m$-극점 집합을 가리키지 않는 것 사이의 관계는 해의 존재성과 어떻게 관련되는가?
• RQ4 $\mu$ 가 $L^p$ 밀도를 가질 때, $\varphi \in \mathcal{F}_m^q(\Omega)$ 이고 $\mu = H_m(\varphi)$ 를 만족하는 최선의 지수 $q$ 는 무엇인가?
• RQ5 비교 원리는 클래스 $\mathcal{F}_m^a(\Omega)$ 로 확장될 수 있는가? 이 확장에서 $\mathcal{E}^0_m(\Omega)$ 에서의 근사화의 역할은 무엇인가?

주요 결과

• 방정식 $(dd^c\varphi)^m \wedge \beta^{n-m} = \mu$ 는 $\mathcal{E}^1_m(\Omega)$ 에서 유일한 해를 가지는 데서, 이는 $\mathcal{E}^1_m(\Omega)$ 의 모든 함수가 $\mu$-적분 가능할 때이다.
• $\mu$ 가 유한한 총 질량을 가지며 $m$-극점 집합을 가리키지 않으면, $\mathcal{F}_m(\Omega)$ 에서 유일한 해가 존재한다.
• $\mu = f dV$ 이고 $f \in L^p(\Omega)$, $p > 1$ 이며 $p < n/m$ 이면, 해 $\varphi$ 는 모든 $q < \frac{nm(p-1)}{n - mp}$ 에 대해 $\mathcal{F}_m^q(\Omega)$ 에 속한다.
• 지수 $q = \frac{nm(p-1)}{n - mp}$ 는 예제 $\varphi_\alpha = 1 - \|z\|^{-2\alpha}$ ($\alpha \in (0, \frac{n-m}{m})$) 를 통해 최선임을 보였다. 이 경우 $\varphi_\alpha \in \mathcal{F}_m^q(\Omega)$ 이 되는 것은 $q < \frac{n-m}{\alpha} - m$ 일 때이다.
• 비교 원리는 $\mathcal{F}_m^a(\Omega)$ 의 함수들에 대해 성립하며, 이는 $\mathcal{E}_m^0(\Omega)$ 의 함수들로의 근사화와 $m$-용량 수렴을 통해 확립된다.
• $\varphi \in \mathcal{E}_m^p(\Omega)$ 이면 용량 추정 $\mathrm{Cap}_m(\varphi < -t) \leq C \cdot \mathrm{E}_p(\varphi) \cdot t^{-(m+p)}$ 이 성립하며, 이는 에너지와 용량 사이의 정량적 연결을 제공한다.