[논문 리뷰] A variational formulation of Griffith phase-field fracture with material strength

Christopher J. Larsen, John E. Dolbow외 1명|arXiv (Cornell University)|2024. 01. 25.

Solidification and crystal growth phenomena인용 수 5

한 줄 요약

본 논문은 Griffith phase-field fracture를 재료 강도로 수반된 변분 문제로 재정리하고, 변위 u와 phase-field v의 쌍이 두 개의 독립적인 함수들을 최소화한다는 것을 보이며, 이는 고전적인 phase-field fracture에서의 교대 최소화와 유사하다.

ABSTRACT

In this expository Note, it is shown that the Griffith phase-field theory of fracture accounting for material strength originally introduced by Kumar, Francfort, and Lopez-Pamies (J Mech Phys Solids 112, 523--551, 2018) in the form of PDEs can be recast as a variational theory. In particular, the solution pair $( extbf{u},v)$ defined by the PDEs for the displacement field $ extbf{u}$ and the phase field $v$ is shown to correspond to the fields that minimize separately two different functionals, much like the solution pair $( extbf{u},v)$ defined by the original phase-field theory of fracture without material strength implemented in terms of alternating minimization. The merits of formulating a complete theory of fracture nucleation and propagation via such a variational approach -- in terms of the minimization of two different functionals -- are discussed.

연구 동기 및 목표

• Elasticity, 강도, 그리고 임계 에너지 방출율을 모두 고려하는 완전한 거시적 파괴 이론을 동기화한다.
• coupled PDE 시스템이 두 개의 독립적인 에너지 함수들로부터 유도될 수 있음을 보인다.
• 상호 연계된 변분 원리를 phase-field fracture의 교대 최소화와 일치시키는 것을 확립한다.
• 단조적, 준정적 하에서 파괴 핵생성 및 전파에 대한 함의에 대해 논의한다.
• Griffith 기반의 기존 이론 및 강도를 포함하는 파괴 이론과의 연결을 강조한다.

제안 방법

• 변형 에너지 함수 E_d^ε(u;v)의 정의를 제시하고, 이의 오일러-라그랑주 방정식이 운동량 평형 방정식을 회복함을 보인다.
• 강도 고려를 반영하는 phase-field 진화 방정식을 재현하는 파괴 에너지 함수 E_f^ε(v;u)의 정의를 제시한다.
• v가 고정된 경우 u가 허용 변위 공간에서 E_d^ε를 최소화하고, u가 고정된 경우 v가 허용 phase field에서 E_f^ε를 최소화함을 보인다.
• 드라이커-프레이저 강도면을 E_f^ε에 포함시키는 구동력 c_e(X,t)와 계수 δ^ε를 설명한다.
• ε를 통한 규칙화와 비가역 제약 v ∈ [0,1], v ≤ v_{k-1}을 설명한다.
• 교대 최소화 해석과 이것이 원래의 phase-field fracture 이론과의 관계를 어떻게 갖는지 설명한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 취약한 고체에서 파괴 핵생성 및 전파를 탄소적 두 함수 프레임워크로 포착할 수 있는지, 탄성, 강도, 파괴 에너지를 포함하는가?
• RQ2 Drucker-Prager 강도 면을 도입하는 것이 변분 설정에서 phase-field 진화와 파괴 시작에 어떤 영향을 주는지?
• RQ3 ε → 0에서 phase-field fracture with material strength가 강도를 반영하는 Griffith 유형의 변분 형식과 동등한가?
• RQ4 강도를 포함하지 않는 표준 phase-field 접근법을 특별한 경우로 보는 것이 수학적·물리적 함의는 무엇인가?

주요 결과

• 변위와 phase-field에 대한 PDE 시스템은 두 개의 독립적인 함수들의 Euler–Lagrange 방정식으로 해석될 수 있다.
• 변형 에너지 함수는 탄성 정적 평형 하에서 체의 변형을 결정한다.
• 파괴 함수는 탄성 에너지, 강도, 파괴 에너지의 균형에 의해 결함의 핵생성 및 성장을 지배한다.
• 이 프레임워크는 강도 포함 파괴를 변수적 시각으로 기존 Griffith 이론과 통합한다.
• 균일 하중에서 파괴 핵생성은 강도 면의 위반과 일치하고, 큰 균열의 전파는 강도가 극복될 때 Griffith 유사한 기준을 따른다.
• 이 접근법은 교대 최소화와의 호환성을 유지하며, 파괴 역학에서 각 에너지 항의 역할을 명확히 한다.