[논문 리뷰] A variational representation of weak solutions for the pressureless Euler-Poisson equations

Eitan Tadmor, Dongming Wei|arXiv (Cornell University)|2011. 02. 28.

Navier-Stokes equation solutions참고 문헌 14인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 1차원 압력이 없는 올레인크-포아송 방정식에 대해 전역 약한 해를 명시적으로 구성하는 변분 공식을 제시한다. 이는 라크스-올라닉 공식을 포아송 잠재력에 의해 결정되는 포물선형 특성선으로 확장한 것이다. 이 방법은 초기 입자 위치에 대한 이차 최소화를 통해 흡인($\kappa<0$) 및 반발($\kappa>0$) 영역에서 해를 유도하며, $\kappa \leq 0$일 경우 스티키 파article 해를 복원하고 $\kappa > 0$일 경우 별개의 해를 얻는다. 또한 차원 축소를 통해 구형 대칭 다차원 시스템으로의 확장이 가능하다.

ABSTRACT

We derive an explicit formula for global weak solutions of the one dimensional system of pressure-less Euler-Poisson equations. Our variational formulation is an extension of the well-known formula for entropy solutions of the scalar inviscid Burgers' equation: since the characteristics of the Euler-Poisson equations are parabolas, the representation of their weak solution takes the form of a "quadratic" version of the celebrated Lax-Oleinik variational formula. Three cases are considered. (i) The variational formula recovers the "sticky particle" solution in the attractive case; (ii) It represents a repulsive solution which is different than the one obtained by the sticky particle construction; and (iii) the result is further extended to the multi-dimensional Euler-Poisson system with radial symmetry.

연구 동기 및 목표

• 1차원 압력이 없는 올레인크-포아송 시스템의 약한 해를 부분적 비압축 영역을 초월하여 명시적이고 전역적인 표현으로 구성하는 것.
• 점성 없는 버거스 방정식의 변분 원리를 올레인크-포아송 시스템으로 확장하는 것. 이 경우 특성선은 포아송 잠재력으로 인해 포물선형이 된다.
• 흡인($\kappa<0$) 및 반발($\kappa>0$) 경우의 해 구조를 구분하여, 후자의 경우 스티키 파article 모델과 다른 거동를 보임을 보여주는 것.
• 1차원 변분 해법을 구형 대칭 조건 하에서 다차원 올레인크-포아송 시스템으로 일반화하는 것.

제안 방법

• 해는 초기 밀도 $\rho_0$, 속도 $u_0$, 전기장 $E_0$를 포함하는 가중치가 부여된 이차 작용 함수를 최소화하는 변분 원리에 의해 유도된다.
• 최소화자 $y(x,t)$는 $\int_0^y Q_{x,t}(s)\rho_0(s)\,ds$를 최소화하는 모든 $y$의 상한으로 정의된다. 여기서 $Q_{x,t}(s) = s + t u_0(s) + \frac{1}{2}\kappa E_0(s) t^2 - x$이다.
• 약한 해는 $\rho(x,t) = \partial_x R(x,t)$, $\rho u(x,t) = \partial_x M(x,t)$로 재구성되며, $R(x,t) = \int_0^{y(x,t)} \rho_0(s)\,ds$ 및 $M(x,t) = \int_0^{y(x,t)} \big(u_0(s) + \kappa E_0(s)t\big)\rho_0(s)\,ds$이다.
• 다차원 경우 구형 대칭 조건이 성립할 때, 시스템은 반경 변수 $r$에 대한 1차원 문제로 축소되며, 변환된 변수 $\varsigma(r,t) = r^{n-1}\rho(r,t)$와 속도 $w(r,t)$를 사용한다.
• 전기장은 대칭성을 유지하고 원점이 고정된 상태를 확보하기 위해 $E(r,t) = \frac{1}{2}\big(\int_0^{r-} \varsigma(s,t)\,ds + \int_0^{r+} \varsigma(s,t)\,ds\big)$로 정의된다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 압력이 없는 1차원 올레인크-포아송 시스템의 전역 변분 공식을 부분적 비압축 영역을 초월하여 구성할 수 있는가?
• RQ2 포아송 잠재력($\kappa \neq 0$) 존재 시, 점성 없는 버거스 방정식과 비교해 특성선의 구조는 어떻게 변화하는가?
• RQ3 반발 영역($\kappa > 0$)의 변분 해가 스티키 파article 해와 일치하는가, 아니면 근본적으로 다른가?
• RQ4 1차원 변분 방법을 구형 대칭 조건을 갖는 다차원 시스템으로 확장할 수 있는가?

주요 결과

• 변분 공식은 모든 $\kappa \in \mathbb{R}$에 대해 1차원 압력이 없는 올레인크-포아송 시스템의 전역 약한 해를 성공적으로 구성한다. 이는 흡인 및 반발 영역 모두에 해당한다.
• $\kappa \leq 0$일 경우, 해는 입자가 충돌 시 융합되고 더 이상 분리되지 않는 스티키 파article 모델과 일치한다.
• $\kappa > 0$일 경우, 해는 스티키 파article 모델과 다르며, 반발력이 영구적인 융합을 방지함을 시사한다.
• 해법은 반경 좌표에서의 1차원 문제로 축소함으로써 다차원 올레인크-포아송 시스템에 대해 구형 대칭 조건 하에서 일반화된다.
• 해는 전기장의 일정한 이동으로 인해 갈릴레이 변환에 대해 불변이며, 이는 물리적 역학을 유지한다.