[논문 리뷰] A volume conjecture for a family of Turaev-Viro type invariants of $3$-manifolds with boundary

Qingtao Chen, Tian Yang|arXiv (Cornell University)|2015. 03. 09.

Geometric and Algebraic Topology참고 문헌 38인용 수 15

한 줄 요약

이 논문은 경계를 가진 3차원 다중체에 대한 Turaev-Viro 유형의 불변량에 대한 부피 추측을 제안한다. 이 불변량은 제곱근 단위 $\exp(2\pi i / r)$에서 평가되었을 때, 큰 $r$에서 이들의 성장률이 다중체의 쌍곡기하학적 부피와 일치하는 지수적 성장을 보임을 보여준다. 또한, 닫힌 쌍곡기하 3차원 다중체에 대해 Turaev-Viro 및 Reshetikhin-Turaev-Lickorish 불변량이 각각 쌍곡기하학적 부피와 복소부피와 일치하는 성장률로 지수적으로 증가한다고 추측하며, Witten의 추측과는 다른 특이한 점근적 행동을 드러낸다.

ABSTRACT

We consider a family of Turaev-Viro type invariants for a $3$-manifold $M$ with non-empty boundary, indexed by an integer $r\geqslant3,$ and propose a volume conjecture for hyperbolic $M$ that these invariants grow exponentially at large $r$ with a growth rate the hyperbolic volume of $M.$ The crucial step is the evaluation at the root of unity $\exp({2\pi\sqrt{-1}}/{r})$ instead of that at the usually considered root $\exp({\pi\sqrt{-1}}/{r}).$ Evaluating at the same root $\exp({2\pi\sqrt{-1}}/{r}),$ we then conjecture that, the Turaev-Viro invariants and the Reshetikhin-Turaev-Lickorish invariants of a closed hyperbolic $3$-manifold $M$ grow exponentially with growth rates respectively the hyperbolic and the complex volume of $M.$ This uncovers a different asymptotic behavior of the values at other roots of unity than that at $\exp({\pi\sqrt{-1}}/{r})$ predicted by Witten's Asymptotic Expansion Conjecture, which may indicate some different geometric interpretation of the Reshetikhin-Turaev invariants than the $SU(2)$ Chern-Simons theory. Numerical evidences are provided to support these conjectures.

연구 동기 및 목표

• 경계가 없는 3차원 다중체에 대한 Turaev-Viro 불변량의 부피 추측을 확장하기 위해.
• 이러한 불변량이 제곱근 단위 $\exp(2\pi i / r)$에서의 점근적 행동을 조사하여, 표준적인 $\exp(\pi i / r)$의 경우와 다름을 밝혀내기 위해.
• 닫힌 쌍곡기하 3차원 다중체에 대해 Turaev-Viro 및 Reshetikhin-Turaev-Lickorish 불변량의 성장률이 각각 쌍곡기하학적 부피와 복소부피와 일치하는 지를 탐색하기 위해.
• Witten의 점근 전개 추측의 예측를 도전하기 위해, Reshetikhin-Turaev 불변량에 대해 다른 기하학적 해석이 가능할 수 있음을 드러내기 위해.

제안 방법

• 정수 $r \geq 3$에 따라 인덱싱된 경계를 가진 3차원 다중체에 대한 Turaev-Viro 유형의 불변량의 가족을 정의한다.
• 기존의 $\exp(\pi i / r)$가 아닌 $\exp(2\pi i / r)$에서 불변량을 평가하여, 다른 점근적 행동을 탐구한다.
• 경계가 있는 쌍곡기하 3차원 다중체에 대해, $\exp(2\pi i / r)$에서 이 불변량의 지수적 성장률이 다중체의 쌍곡기하학적 부피와 일치한다고 추측한다.
• 이 추측을 닫힌 쌍곡기하 3차원 다중체로 확장하여, Turaev-Viro 불변량은 쌍곡기하학적 부피와 일치하는 성장률로 증가하고, Reshetikhin-Turaev-Lickorish 불변량은 복소부피와 일치하는 성장률로 증가한다고 제안한다.
• 특히 경계가 있는 쌍곡기하 3차원 다중체와 닫힌 쌍곡기하 3차원 다중체에 대해, 수치적 증거를 통해 추측을 뒷받침한다.
• Witten의 점근 전개 추측이 예측한 것과 $\exp(2\pi i / r)$에서의 점근적 행동을 비교하여, Reshetikhin-Turaev 불변량에 대해 다른 기하학적 해석이 가능할 수 있음을 강조한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 경계가 있는 쌍곡기하 3차원 다중체에 대해, $r \to \infty$일 때 $\exp(2\pi i / r)$에서 평가된 Turaev-Viro 불변량이 그 쌍곡기하학적 부피와 일치하는 성장률로 지수적으로 증가하는가?
• RQ2 닫힌 쌍곡기하 3차원 다중체에 대해, Turaev-Viro 및 Reshetikhin-Turaev-Lickorish 불변량이 $\exp(2\pi i / r)$에서 각각 쌍곡기하학적 부피와 복소부피와 일치하는 성장률로 지수적으로 증가하는가?
• RQ3 $\exp(2\pi i / r)$에서의 이 불변량의 점근적 행동은 Witten의 점근 전개 추측이 예측한 바와 어떻게 다를까?
• RQ4 $\exp(2\pi i / r)$에서 관찰된 특이한 점근적 성장은 $\exp(\pi i / r)$와 비교해 어떤 기하학적 또는 위상수학적 해석을 가질 수 있는가?
• RQ5 수치 계산은 경계가 있는 경우와 닫힌 경우 모두에 대해 제안된 부피 추측에 신뢰할 수 있는 증거를 제공할 수 있는가?

주요 결과

• 경계가 있는 쌍곡기하 3차원 다중체에 대해, $r \to \infty$일 때 $\exp(2\pi i / r)$에서 평가된 Turaev-Viro 불변량은 쌍곡기하학적 부피와 일치하는 성장률로 지수적으로 증가한다고 추측된다.
• 닫힌 쌍곡기하 3차원 다중체에 대해, Turaev-Viro 불변량은 쌍곡기하학적 부피와 일치하는 성장률로 지수적으로 증가한다고 추측된다.
• 닫힌 쌍곡기하 3차원 다중체에 대해, Reshetikhin-Turaev-Lickorish 불변량은 복소부피와 일치하는 성장률로 지수적으로 증가한다고 추측된다.
• $\exp(2\pi i / r)$에서의 점근적 행동은 Witten의 점근 전개 추측이 예측한 바와 현저히 다르며, 이는 Reshetikhin-Turaev 불변량에 대해 다른 기하학적 해석이 가능함을 시사한다.
• 수치적 증거는 경계가 있는 다중체와 닫힌 쌍곡기하 3차원 다중체 모두에 대해 제안된 부피 추측을 지지한다.
• $\exp(2\pi i / r)$에서의 평가가 $SU(2)$ 초전도체 이론과 다른 양자장 이론 해석에 대응할 수 있는 새로운 점근적 영역을 드러낸다.