[논문 리뷰] A weak set theory that proves its own consistency

Fedor Pakhomov|arXiv (Cornell University)|2019. 07. 01.

Advanced Topology and Set Theory참고 문헌 13인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 칼마르 초월 산술($\mathsf{EA}$)의 보존 확장인 새로운 산술화 기법을 사용하여 자신의 일관성을 증명하는 약한 집합론 $Θ_{<\omega}$를 소개한다. 이전의 자기일관성 시스템과 달리, $\mathsf{H}_{<\omega}$는 자연스럽게 서술되며, 유한한 공리 체계로 표현 가능하며, 로빈슨 산술 $\mathsf{Q}$를 해석하지 않기 때문에 굿스터의 두 번째 불완전성 정리의 영향을 피하여, 산술 문장의 컷 기반 번역을 통해 자기검증을 달성한다.

ABSTRACT

In the paper we introduce a weak set theory $\mathsf{H}_{

연구 동기 및 목표

• 자신의 일관성을 증명할 수 있는 자연스럽고 약한 집합론을 구성함으로써 굿스터의 두 번째 불완전성 정리의 제약을 피하고자 한다.
• 로빈슨 산술 $\mathsf{Q}$를 해석하지 않는 이론이 여전히 자신의 일관성을 증명할 수 있음을 보여, 그러한 결과를 위해 강력한 해석이 반드시 필요하지 않다는 점을 도전하고자 한다.
• $\mathsf{H}_{<\omega}$와 $\mathsf{EA}$ 사이의 보존 결과를 확립하여, 산술화를 통한 일관성 증명의 이행을 가능하게 하고자 한다.
• $\mathsf{H}_{<\omega}$가 국소적으로 유한으로 만족 가능하다는 것을 보여, 모든 유한 부분이 유한 모델을 가지므로, 푸들라크의 굿스터 정리의 강력한 형태를 피할 수 있다.
• 고차원 변형인 $\mathsf{H}^{\omega}_{<\omega}$로 분석을 확장하여, 초지수 컷을 통한 $\Pi_1$ 문장 증명에서의 기술적 이점을 보여주고자 한다.

제안 방법

• 기본적으로 유한한 헤리티지 집합과 유한한 본-베르너드 순서수를 기반으로 한 약한 집합론 $\mathsf{H}_{<\omega}$를 형식화하고, 표준 집합론적 정의를 통해 산술 언어를 통합한다.
• 예측 전용 산술 언어에서 힐베르트 스타일의 일관성 문장 $\mathsf{Con}^\mathsf{pred}(\mathsf{H}_{<\omega})$를 정의하며, $\Pi_1$-공식을 유지하는 번역을 사용한다.
• 보존 결과를 확립한다: $\mathsf{EA} \vdash \varphi^{2\mathcal{S}}$ 이면 $\mathsf{H}_{<\omega} \vdash \mathcal{NAT}(\varphi)$이며, 여기서 $\mathcal{S}$는 초지수 컷이고 $\varphi$는 $\Pi_1^\mathsf{pred}$ 문장이다.
• $\mathsf{H}_{<\omega}$에서 컷 기반 추론 전략을 사용한다: 또는 유한 도메인 $<2n$에서 직접 $\varphi$를 검증하고, 또는 $\mathsf{Nat}^{-n}$의 합집합 닫힘 성질을 이용해 컷에서 전체 도메인으로 진리성을 옮긴다.
• 고차원 변형인 $\mathsf{H}^{\omega}_{<\omega}$를 도입하여, 더 강력한 산술 문장의 해석과 증명 이론적 분석의 단순화를 가능하게 한다.
• $\mathsf{H}_{<\omega}$와 로빈슨 산술 $\mathsf{R}$ 사이의 상호 해석 가능성을 증명하여, $\mathsf{H}_{<\omega}$가 $\mathsf{R}$의 집합론적 동치임을 보이며, 그러나 $\mathsf{R}$과 달리 자기일관성을 증명한다는 점에서 더 강력한 자기검증 성질을 가짐을 보여준다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 약하고 자연스러운 집합론이 로빈슨 산술 $\mathsf{Q}$를 해석하지 않더라도 자신의 일관성을 증명할 수 있는가?
• RQ2 $\mathsf{H}_{<\omega}$와 $\mathsf{EA}$ 사이의 보존 관계를 얼마나 활용하여, 초월 산술에서의 일관성 증명을 집합론으로 이행할 수 있는가?
• RQ3 $\mathsf{H}_{<\omega}$의 모든 유한 부분이 유한 모델을 가지는 유한 모델 성질이, 굿스터의 두 번째 불완전성 정리의 강력한 형태를 피하는 데 기여하는가?
• RQ4 고차원 변형인 $\mathsf{H}^{\omega}_{<\omega}$는 $\mathsf{H}_{<\omega}$에 비해 $\Pi_1$ 문장 처리에서 어떤 기술적 우월성을 제공하는가?
• RQ5 $\mathsf{H}_{<\omega}$에 대해 자연스러운 일관성 산술화가 존재하는가? 즉, $\mathsf{H}_{<\omega} \vdash \mathsf{Con}^\mathsf{pred}(\mathsf{H}_{<\omega})$가 성립하는가?

주요 결과

• $\mathsf{H}_{<\omega}$는 힐베르트 스타일의 일관성 문장 $\mathsf{Con}^\mathsf{pred}(\mathsf{H}_{<\omega})$의 자연스러운 산술화를 통해 자신의 일관성을 증명한다.
• 이론 $\mathsf{H}_{<\omega}$는 국소적으로 유한으로 만족 가능하다: 모든 유한 부분이 유한 모델을 가지며, 이는 푸들라크의 굿스터 정리의 강력한 형태를 차단한다.
• 보존 결과가 존재한다: 임의의 $\Pi_1^\mathsf{pred}$ 문장 $\varphi$에 대해 $\mathsf{EA} \vdash \varphi^{2\mathcal{S}}$ 이면 $\mathsf{H}_{<\omega} \vdash \mathcal{NAT}(\varphi)$이며, 이는 일관성 증명의 이행을 가능하게 한다.
• 고차원 변형인 $\mathsf{H}^{\omega}_{<\omega}$는 $\Pi_1^\mathsf{pred}$ 문장 $\varphi$를 증명할 수 있으며, 이는 $\mathsf{EA}$가 초지수 컷 $2\mathcal{S}$에서 $\varphi$가 참임을 증명할 때에 한하여 성립한다.
• $\mathsf{H}_{<\omega}$는 로빈슨 산술 $\mathsf{R}$과 상호 해석 가능하며, 이는 $\mathsf{R}$의 집합론적 동치임을 의미하지만, $\mathsf{R}$과 달리 자기일관성을 증명한다는 점에서 더 강력한 자기검증 성질을 가진다.
• $\mathsf{H}_{<\omega}$에서 자기일관성의 증명은 $2n$의 존재 여부에 따른 경우의 수 분석에 기반하며, 유계 양화 및 도메인 $\mathsf{Nat}^{-n}$의 합집합 닫힘 성질을 이용해 컷에서 전체 자연수로 진리성을 옮긴다.