[论文解读] Abelian complexity function of the Tribonacci word

Ondřej Turek|arXiv (Cornell University)|Sep 18, 2013

semigroups and automata theory参考文献 12被引用 5

一句话总结

本文提出了一种有限自动机，通过其特鲁比诺数表示法计算特鲁比诺词的阿贝尔复杂度函数，实现了 O(log n) 时间内的高效计算。该自动机包含 68 个状态，解决了开放问题，表征了所有满足阿贝尔复杂度等于 {4,5,6,7} 中任一值的 n，并将该方法扩展至四步诺词，揭示了其新的阿贝尔复杂度特性。

ABSTRACT

According to a result of Richomme, Saari and Zamboni, the abelian complexity of the Tribonacci word satisfies $ρ^{\mathrm{ab}}(n)\in\{3,4,5,6,7\}$ for each $n\in\mathbb{N}$. In this paper we derive an automaton that evaluates the function $ρ^{\mathrm{ab}}(n)$ explicitly. The automaton takes the Tribonacci representation of $n$ as its input; therefore, $(ρ^{\mathrm{ab}}(n))_{n\in\mathbb{N}}$ is an automatic sequence in a generalized sense. Since our evaluation of $ρ^{\mathrm{ab}}(n)$ uses $\mathcal{O}(\log n)$ operations, it is fast even for large values of $n$. Our result also leads to a solution of an open problem proposed by Richomme et al. concerning the characterization of those $n$ for which $ρ^{\mathrm{ab}}(n)=c$ with $c$ belonging to $\{4,5,6,7\}$. In addition, we apply the same approach on the $4$-bonacci word. In this way we find a description of the abelian complexity of the $4$-bonacci word, too.

研究动机与目标

• 解决 Richomme、Saari 和 Zamboni 提出的开放问题，即表征所有满足特鲁比诺词阿贝尔复杂度为 c ∈ {4,5,6,7} 的 n。
• 开发一种计算高效的特鲁比诺词阿贝尔复杂度函数 ρ^ab(n) 的评估方法。
• 将该方法扩展至其他 m-步诺词，特别是四步诺词，以分析其阿贝尔复杂度特性。
• 基于阿贝尔共分解与有限自动机，为在更大字母表上的重复词中研究阿贝尔复杂度提供系统性方法。

提出的方法

• 该方法使用阿贝尔共分解，识别出对应于阿贝尔复杂度不同取值的有限集合 Z₁,…,Z_M。
• 构建一个有限自动机，其状态对应于这些集合 Z_q，转移函数由基于特鲁比诺替换规则的映射 D_j 定义。
• 该自动机以 n 的特鲁比诺表示作为输入，使得 ρ^ab(n) 可在 O(log n) 次操作内计算得出。
• 在递归应用分解映射过程中，通过跟踪可接受的正规 U-表示，确保其有效性。
• 通过状态最小化，将自动机规模从 278 个状态优化至 68 个状态，提升了实用性。
• 该方法被推广至非简单帕里词，并应用于四步诺词，揭示其阿贝尔复杂度有界且可计算。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于哪些 n，特鲁比诺词的阿贝尔复杂度等于 4、5、6 或 7？
• RQ2 特鲁比诺词的阿贝尔复杂度函数能否对较大的 n 实现高效计算？
• RQ3 四步诺词的阿贝尔复杂度结构是什么？与特鲁比诺词有何不同？
• RQ4 阿贝尔共分解方法能否推广至 m > 3 的其他 m-步诺词？
• RQ5 四步诺词的最优平衡界限是多少？该方法能否得出该界限？

主要发现

• 特鲁比诺词的阿贝尔复杂度满足对所有 n ∈ ℕ 有 ρ^ab(n) ∈ {3,4,5,6,7}，以新方法确认了已知结果。
• 一个包含 68 个状态的有限自动机基于 n 的特鲁比诺表示计算 ρ^ab(n)，实现 O(log n) 的评估时间。
• 该自动机完整表征了所有满足 ρ^ab(n) = c 的 n，其中 c ∈ {4,5,6,7}，解决了 Richomme 等人提出的开放问题。
• 该方法成功计算了四步诺词的阿贝尔复杂度，表明其有界且为自动词。
• 四步诺词是 3-平衡的，且该方法得出了最优平衡界限，提示该方法可推广至 m-步诺词。
• 该方法可扩展至其他帕里词，并可适应参数族词，尽管复杂度有所增加。