[논문 리뷰] Abelian $n$-division fields of elliptic curves and Brauer groups of product Kummer & abelian surfaces

Anthony Várilly‐Alvarado, Bianca Viray|arXiv (Cornell University)|2016. 06. 29.

Algebraic Geometry and Number Theory참고 문헌 20인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 특정 K3 및 아벨 곡면의 브라우어 군에서 대수적 클래스를 제외한 홀수 토크션의 유한성과 비-CM 타원곡선의 아벨 $n$-나누기 체의 차수에 대한 통일된 상한의 존재 사이에 깊은 연결을 수립한다. 이는 이러한 상한이 비-CM 타원곡선이 아벨 $n$-나누기 체를 가지는 $n$에 대한 통일된 상한과 동치임을 증명하며, 고정된 $\$ 및 네로-세베르 계량의 Néron–Severi 격자에 대해 $\text{Br}Y/\text{Br}_1Y$가 통일적으로 유계임을 추가로 보여준다.

ABSTRACT

Let $Y$ be a principal homogeneous space of an abelian surface, or a K3 surface, over a finitely generated extension of $\mathbb{Q}$ . In 2008, Skorobogatov and Zarhin showed that the Brauer group modulo algebraic classes $ ext{Br}\,Y/ ext{Br}_{1}\,Y$ is finite. We study this quotient for the family of surfaces that are geometrically isomorphic to a product of isogenous non-CM elliptic curves, as well as the related family of geometrically Kummer surfaces; both families can be characterized by their geometric Néron–Severi lattices. Over a field of characteristic $0$ , we prove that the existence of a strong uniform bound on the size of the odd torsion of $ ext{Br}Y/ ext{Br}_{1}Y$ is equivalent to the existence of a strong uniform bound on integers $n$ for which there exist non-CM elliptic curves with abelian $n$ -division fields. Using the same methods we show that, for a fixed prime $\ell$ , a number field $k$ of fixed degree $r$ , and a fixed discriminant of the geometric Néron–Severi lattice, $\#( ext{Br}Y/ ext{Br}_{1}Y)[\ell ^{\infty }]$ is bounded by a constant that depends only on $\ell$ , $r$ , and the discriminant.

연구 동기 및 목표

• 기하학적으로 서로 동형인 비-CM 타원곡선의 곱 또는 기하학적으로 쿠머 곡면인 표면에 대해 $\text{Br}Y/\text{Br}_1Y$의 브라우어 군의 구조를 조사하는 것.
• 고정된 차수의 수체 위에서 이러한 표면에 대해 $\text{Br}Y/\text{Br}_1Y$의 홀수 토크션 크기에 대한 강력한 통일된 상한이 존재하는지 판단하는 것.
• 이 브라우어 군 몫의 통일된 유계성과 비-CM 타원곡선이 아벨 $n$-나누기 체를 가지는 정수 $n$에 대한 통일된 상한의 존재를 연결하는 것.
• 고정된 소수 $\ell$, 고정된 수체의 차수 $r$, 고정된 기하학적 Néron–Severi 격자의 행렬식에 대해 $\text{Br}Y/\text{Br}_1Y$의 $\ell$-primary 토크션에 대한 통일된 상한을 확립하는 것.

제안 방법

• 기하학적 Néron–Severi 격자를 사용하여 연구 중인 표면의 가닥을 특성화하며, 특히 서로 이소지적인 비-CM 타원곡선의 곱 또는 기하학적으로 쿠머 곡면인 표면에 초점을 맞춘다.
• Galois 이론적 방법을 적용하여 비-CM 타원곡선의 $n$-나누기 체의 구조를 분석하고, 그들의 Galois 군과 브라우어 군과의 관계를 고려한다.
• 유한 생성된 $\mathbb{Q}$의 확장 위에서 아벨 곡면과 K3 곡면의 주형 동차 공간에 대해 $\text{Br}Y/\text{Br}_1Y$의 유한성에 관한 기존 결과를 활용한다.
• 비-CM 타원곡선이 아벨 $n$-나누기 체를 가지는 정수 $n$에 대한 강력한 통일된 상한의 존재와 $\text{Br}Y/\text{Br}_1Y$의 홀수 토크션에 대한 강력한 통일된 상한의 존재 사이에 동치성을 확립한다.
• $\ell$-adic 코hom올로지와 Néron–Severi 격자의 구조를 활용하여 고정된 $\ell$, $r$, 행렬식에 대해 $\text{Br}Y/\text{Br}_1Y$의 $\ell$-primary 토크션을 유계로 제한한다.
• 클래스 체계 이론과 나누기 체 이론을 적용하여 타원곡선의 산술과 표면의 브라우어 군의 산술을 연결한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 고정된 차수의 수체 위에서 기하학적으로 서로 이소지적인 비-CM 타원곡선의 곱과 동형인 표면에 대해 $\text{Br}Y/\text{Br}_1Y$의 홀수 토크션 크기에 대한 강력한 통일된 상한이 존재하는가?
• RQ2 이러한 $\text{Br}Y/\text{Br}_1Y$의 홀수 토크션에 대한 통일된 상한의 존재는 비-CM 타원곡선이 아벨 $n$-나누기 체를 가지는 정수 $n$에 대한 통일된 상한을 암시하는가?
• RQ3 고정된 $\ell$, 고정된 수체의 차수 $r$, 고정된 기하학적 Néron–Severi 격자의 행렬식에 대해 $\text{Br}Y/\text{Br}_1Y$의 $\ell$-primary 토크션은 통일적으로 유계인가?
• RQ4 기하학적 Néron–Severi 격자의 구조는 이러한 표면의 브라우어 군 모듈로 대수적 클래스를 어떻게 제약하는가?
• RQ5 비-CM 타원곡선 간의 이소지가 Brauer 군 토크션의 통일된 유계성에 어떤 역할을 하는가?

주요 결과

• 비-CM 타원곡선이 아벨 $n$-나누기 체를 가지는 정수 $n$에 대한 강력한 통일된 상한의 존재와 $\text{Br}Y/\text{Br}_1Y$의 홀수 토크션에 대한 강력한 통일된 상한의 존재는 동치이다.
• 고정된 소수 $\ell$에 대해 $\text{Br}Y/\text{Br}_1Y$의 $\ell$-primary 토크션은 $\ell$, 수체의 차수 $r$, 기하학적 Néron–Severi 격자의 행렬식에만 의존하는 상수로 유계이다.
• 고정된 $\ell$, $r$, Néron–Severi 격자의 행렬식에 대해 $\#(\text{Br}Y/\text{Br}_1Y)[\ell^{\infty}]$의 유계는 이러한 표면 전반에 걸쳐 통일적이다.
• 결과는 기하학적으로 서로 이소지적인 비-CM 타원곡선의 곱과 기하학적으로 쿠머 곡면인 표면에 모두 적용되며, 이들은 모두 그 기하학적 Néron–Severi 격자로 특성화된다.
• 사용된 방법은 나누기 체의 Galois 표현과 브라우어 군의 코homological 구조 사이의 상호작용에 기반한다.
• 논문은 비-CM 타원곡선의 나누기 체 차수의 유계성과 브라우어 군 토크션의 유계성 사이에 정확한 산술기하학적 대응을 수립한다.