[논문 리뷰] Abelian varieties over Q and modular forms

Kenneth A. Ribet|arXiv (Cornell University)|1992. 08. 06.

Algebraic Geometry and Number Theory인용 수 11

한 줄 요약

이 논문은 Q-bar 위의 타원곡선 중 표준 모듈라 곡선에 의해 커버될 것으로 기대되는 것들을 추측적 특성으로 기술하며, 특히 복소 곱승이 없는 Q-curves—모든 갈루아 공액체와 동형인 타원곡선—에 초점을 맞춘다. 이 논문은 이러한 Q-curves가 정확히 Q 위의 GL(2)-형 타원곡선의 Q-bar 단순 성분으로서 나타나며, 세르의 모듈라성 추측이 참이라면 이러한 곡선들은 어떤 N ≥ 1에 대해 J₁(N)의 단순 성분들로 정확히 나타남을 증명한다.

ABSTRACT

This paper gives a conjectural characterization of those elliptic curves over the field of complex numbers which "should" be covered by standard modular curves. The elliptic curves in question all have algebraic j-invariant, so they can be viewed as curves over Q-bar, the field of algebraic numbers. The condition that they satisfy is that they must be isogenous to all their Galois conjugates. Borrowing a term from B.H. Gross, "Arithmetic on elliptic curves with complex multiplication," we say that the elliptic curves in question are "Q-curves." Since all complex multiplication elliptic curves are Q-curves (with this definition), and since they are all uniformized by modular forms (Shimura), we consider only non-CM curves for the remainder of this abstract. We prove: 1. Let C be an elliptic curve over Q-bar. Then C is a Q-curve if and only if C is a Q-bar simple factor of an abelian variety A over Q whose algebra of Q-endomorphisms is a number field of degree dim(A). (We say that abelian varieties A/Q with this property are of "GL(2) type.") 2. Suppose that Serre's conjecture on mod p modular forms are correct (Ref: Duke Journal, 1987). Then an abelian variety A over Q is of GL(2)-type if and only if it is a simple factor (over Q) of the Jacobian J_1(N) for some integer N\ge1. (The abelian variety J_1(N) is the Jacobian of the standard modular

연구 동기 및 목표

• 모듈라 형식에 의해 균일화될 것으로 예상되는 Q-bar 위의 타원곡선을 특성화하는 것, 특히 복소 곱승이 없는 곡선에 중점을 두고.
• Q-curves—모든 갈루아 공액체와 동형인 타원곡선—를 정의하고 연구하여 잠재적 모듈라성을 지닌 곡선의 클래스로 간주하는 것.
• Q-curves와 Q 위의 GL(2)-형 타원곡선 사이의 정확한 연결 고리를 설정하는 것.
• Q 위의 타원곡선의 모듈라성과 고전적 모듈라 아벨 다양체 J₁(N)을 연결하는 것.
• 세르의 모듈라성 추측이 참이라면, Q 위의 모든 GL(2)-형 타원곡선이 어떤 N에 대해 J₁(N)의 단순 성분으로 나타남을 증명하는 것.

제안 방법

• Q-curves를 Q-bar 위의 타원곡선으로 정의하며, 이는 모든 갈루아 공액체와 동형이 되는 경우를 의미한다.
• Q 위의 GL(2)-형 타원곡선을, 차원과 동일한 차수를 가진 절대 단순 Q-자기환의 대수로 구성된 것들로 특성화한다.
• 모듈라 매개화 이론과 셰이머의 복소 곱승 이론을 활용하여 복소 곱승이 있는 곡선의 모듈라성을 확립한다.
• 세르의 mod p 모듈라 형식에 대한 추측을 적용하여, Q 위의 GL(2)-형 타원곡선이 J₁(N)의 단순 성분임을 유도한다.
• 갈루아 이론적 기법을 활용하여 수체 위의 타원곡선의 이소지 클래스와 자기환의 대수를 분석한다.
• 헤케 대수의 구조와 아이히러-시무라 관계를 활용하여 모듈라 형식과 타원곡선을 연결한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 Q-bar 위의 어떤 타원곡선이 표준 모듈라 곡선에 의해 균일화될 것으로 기대되는가?
• RQ2 이러한 곡선을 Q-curves로 특성화하는 정확한 대수기하학적 조건은 무엇인가?
• RQ3 Q 위의 GL(2)-형 타원곡선은 어떻게 모듈라 아벨 다양체 J₁(N)과 관련이 있는가?
• RQ4 어떤 조건에서 Q 위의 GL(2)-형 타원곡선이 어떤 N에 대해 J₁(N)의 단순 성분으로 나타나는가?
• RQ5 세르의 모듈라성 추측은 Q 위의 모듈라 형식과 타원곡선을 연결하는 데 어떤 역할을 하는가?

주요 결과

• Q-bar 위의 타원곡선 C는 정확히 Q 위의 타원곡선 A의 Q-bar 단순 성분이면서, A의 Q-자기환 대수가 차원과 동일한 차수를 가진 수체일 때에만 Q-curves이다.
• 세르의 mod p 모듈라 형식에 대한 추측이 참이라면, Q 위의 모든 GL(2)-형 타원곡선은 어떤 N ≥ 1에 대해 J₁(N)의 단순 성분으로 나타난다.
• Q-curves의 범주는 복소 곱승이 있는 모든 타원곡선을 포함하며, 이들은 셰이머 이론에 의해 이미 모듈라 형식에 의해 균일화됨이 알려져 있다.
• 비-CM Q-curves는 갈루아 공액체에 대한 이소지 불변성으로 특징지어지며, 이 성질은 모듈라성과 연결된다.
• Q 위의 GL(2)-형 타원곡선의 모듈라성은 세르의 추측을 가정할 경우, J₁(N)의 단순 성분으로 나타남과 동치이다.
• 이 논문은 Q-curves의 산술과 모듈라 아벨 다양체의 기하학 사이에 정확한 사전을 수립한다.