[논문 리뷰] Action and Energy of the Gravitational Field

J. Brown, Stephen R. Lau외 1명|ArXiv.org|2000. 10. 06.

Advanced Differential Geometry Research참고 문헌 3인용 수 28

한 줄 요약

이 논문은 해밀턴 형식과 해밀턴-자비 이론의 장 이론 일반화를 사용하여 중력장에 대한 준국소적 에너지-운동량-모멘텀 텐서를 개발한다. 경계 계량함수에 대한 중력 작용의 변분을 통해 좌표에 의존하지 않는 준국소적 에너지-운동량 정의를 유도하며, 이는 큰 구면 근사에서 알려진 결과로 줄어들고 유한한 시공간 영역에 적용 가능하여, 아인슈타인-드미트리에프(ADM) 에너지와 같은 점근적 정의의 물리적으로 의미 있는 대안을 제공한다.

ABSTRACT

We present a detailed examination of the variational principle for metric general relativity as applied to a ``quasilocal'' spacetime region $\M$ (that is, a region that is both spatially and temporally bounded). Our analysis relies on the Hamiltonian formulation of general relativity, and thereby assumes a foliation of $\M$ into spacelike hypersurfaces $Σ$. We allow for near complete generality in the choice of foliation. Using a field--theoretic generalization of Hamilton--Jacobi theory, we define the quasilocal stress-energy-momentum of the gravitational field by varying the action with respect to the metric on the boundary $\partial\M$. The gravitational stress-energy-momentum is defined for a two--surface $B$ spanned by a spacelike hypersurface in spacetime. We examine the behavior of the gravitational stress-energy-momentum under boosts of the spanning hypersurface. The boost relations are derived from the geometrical and invariance properties of the gravitational action and Hamiltonian. Finally, we present several new examples of quasilocal energy--momentum, including a novel discussion of quasilocal energy--momentum in the large-sphere limit towards spatial infinity.

연구 동기 및 목표

• 유한한 시공간 영역에서 중력장에 대한 물리적으로 의미 있는 준국소적 에너지-운동량-모멘텀 텐서를 정의하기.
• 유한한 시스템에 대해 물리적으로 비합리적인 점근적 정의(예: ADM 에너지)의 한계를 극복하기.
• 디피오모르피즘 불변성과 좌표에 의존하지 않는 형식을 개발하여 이전 접근법의 가짜텐서 문제를 피하기.
• 수치 상대성 이론에 적용 가능한 프레임워크를 구축하여 시뮬레이션의 외부 경계 조건에 활용하기.
• 큰 구면 근사에서 알려진 결과(예: ADM 에너지)를 준국소적으로 복원하고 확장하기.

제안 방법

• 준국소적 시공간 영역 M의 시공간적 분할을 사용한 일반 상대성 이론의 해밀턴 형식을 사용한다.
• 장 이론 일반화된 해밀턴-자비 이론을 적용하여 경계 계량함수에 대한 작용의 변분을 통해 준국소적 에너지-운동량-모멘텀을 정의한다.
• 작용과 해밀턴 함수의 불변성 성질로부터 중력 에너지-운동량-모멘텀의 보정 관계를 유도한다.
• 경계에 인한 계량함수에 대한 변분이 가능하도록 경계 작용을 도입하여 준국소적 에너지-운동량을 도출한다.
• 경계에서 정규 및 탄성 벡터 장을 정의하기 위해 부분적 분할을 사용하여 준국소 형식과의 일관성을 확보한다.
• 배경 시공간을 요구하지 않으며, 전체 디피오모르피즘 불변성을 유지한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 어떻게 변분 원리로부터 좌표에 의존하지 않는 준국소적 에너지-운동량-모멘텀 텐서를 유도할 수 있는가?
• RQ2 스패닝 하이퍼표면의 보정에 대해 중력 에너지-운동량-모멘텀은 어떻게 행동하는가?
• RQ3 큰 구면 근사에서 준국소적 에너지-운동량-모멘텀은 어떻게 공간 무한대 방향으로의 ADM 에너지로 줄어드는가?
• RQ4 이 형식은 수치 상대성 이론에서 외부 경계 조건에 적용될 수 있는가?
• RQ5 준국소 형식은 이전의 접근법(예: 아인슈타인의 가짜텐서 또는 멜러의 테트라드 기반 작용)과 어떻게 비교되는가?

주요 결과

• 경계 계량함수에 대한 중력 작용의 변분을 통해 준국소적 에너지-운동량-모멘텀이 도출되며, 디피오모르피즘 불변성과 좌표에 의존하지 않는 결과를 얻는다.
• 형식은 공간 무한대 방향으로 큰 구면 근사에서 자연스럽게 ADM 에너지를 재현하여 기존 점근적 결과와의 일관성을 입증한다.
• 작용과 해밀턴 함수의 불변성에서 유도된 보정 관계는 상대론적 변환 법칙과 일관성을 보인다.
• 배경 시공간이나 고정된 좌표계에 의존하지 않아 전체 일반 공변성을 유지하며, 이전 접근법의 가짜텐서 문제를 피한다.
• 형식은 유한한 영역에서 준국소적 에너지를 정의하는 실용적인 프레임워크를 제공하며, 수치 상대성 이론과 양자장 이론의 반고전적 응용에 직접적으로 활용 가능하다.
• 경계 항의 감산은 경계 요소 위의 스메어링 적분을 통해 처리되어, 일관된 캐논ical 변환과 형식 내의 제로 포인트 자유도를 보장한다.