[논문 리뷰] Actions of finite groups and smooth functions on surfaces

Bohdan Feshchenko|arXiv (Cornell University)|2016. 10. 04.

Topological and Geometric Data Analysis참고 문헌 5인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 폐포 표면 위의 매끄러운 함수의 원자(임계 수준 집합의 정규 근방)의 경계 성분들에 대한 유한군 작용이 전역적인 $f$-보존 미분동형사상으로 올라갈 수 있는 충분조건을 확립한다. 유동 기반의 구성과 벡터장의 확장 정리들을 사용하여, 경계 성분들의 자기동형사상군의 부분군 $H$가 특정한 올림 조건을 만족하면, $s: H \to \mathcal{S}_V(f)$인 단면이 존재함을 보이며, 이는 군 작용이 함수 $f$를 보존하는 전역적인 미분동형사상으로 실현될 수 있음을 의미한다. 이 결과는 국소적 점근형이 중복 선형 인수를 갖지 않는 동차 다항식과 매끄럽게 동치인 폭넓은 매끄러운 함수의 클래스에 적용된다.

ABSTRACT

Let $f:M o \mathbb{R}$ be a Morse function on a smooth closed surface, $V$ be a connected component of some critical level of $f$, and $\mathcal{E}_V$ be its atom. Let also $\mathcal{S}(f)$ be a stabilizer of the function $f$ under the right action of the group of diffeomorphisms $\mathrm{Diff}(M)$ on the space of smooth functions on $M,$ and $\mathcal{S}_V(f) = \{h\in\mathcal{S}(f)\,| h(V) = V\}.$ The group $\mathcal{S}_V(f)$ acts on the set $π_0\partial \mathcal{E}_V$ of connected components of the boundary of $\mathcal{E}_V.$ Therefore we have a homomorphism $ϕ:\mathcal{S}(f) o \mathrm{Aut}(π_0\partial \mathcal{E}_V)$. Let also $G = ϕ(\mathcal{S}(f))$ be the image of $\mathcal{S}(f)$ in $\mathrm{Aut}(π_0\partial \mathcal{E}_V).$ Suppose that the inclusion $\partial \mathcal{E}_V\subset M\setminus V$ induces a bijection $π_0 \partial \mathcal{E}_V oπ_0(M\setminus V).$ Let $H$ be a subgroup of $G.$ We present a sufficient condition for existence of a section $s:H o \mathcal{S}_V(f)$ of the homomorphism $ϕ,$ so, the action of $H$ on $\partial \mathcal{E}_V$ lifts to the $H$-action on $M$ by $f$-preserving diffeomorphisms of $M$. This result holds for a larger class of smooth functions $f:M o \mathbb{R}$ having the following property: for each critical point $z$ of $f$ the germ of $f$ at $z$ is smoothly equivalent to a homogeneous polynomial $\mathbb{R}^2 o \mathbb{R}$ without multiple linear factors.

연구 동기 및 목표

• 표면 위의 매끄러운 함수의 원자 경계 성분들에 대한 유한군 작용이 전역적인 $f$-보존 미분동형사상으로 올라갈 수 있는 조건을 규명하는 것.
• 모르스 유형 함수에 대한 미분동형사상군의 안정자 작용을, 임계 수준 집합 경계에 대한 유한군 작용을 포함하도록 확장하는 것.
• 원자 경계 성분들의 자기동형사상군의 부분군 $H$가 안정자 $\mathcal{S}_V(f)$의 부분군으로 올라갈 수 있는 충분조건을 제공하는 것.
• 모르스 함수에 대한 결과를 중복 선형 인수를 갖지 않는 동차 다항식과 매끄럽게 동치인 국소 점근형을 갖는 더 넓은 매끄러운 함수의 클래스로 일반화하는 것.
• 유한군 작용을 원자 경계에 적용하여, 이를 함수의 전역 대칭으로서 미분동형사상에 의해 실현하는 구축 가능한 방법을 설정하는 것.

제안 방법

• 표면 위의 매끄러운 함수 $f$에 대한 오른쪽 작용에 의한 안정자 $\mathcal{S}(f)$와 임계 수준 집합 성분 $V$를 보존하는 부분군 $\mathcal{S}_V(f)$를 정의한다.
• 미분동형사상에서 경계 성분들의 원소 집합 $\pi_0 \partial \mathcal{E}_V$의 순열로 가는 군 준동형사상 $\phi: \mathcal{S}(f) \to \mathrm{Aut}(\pi_0 \partial \mathcal{E}_V)$를 구성한다.
• 매끄러운 함수 $\xi_{ri}$와 관련된 벡터장의 유동 $\mathbf{F}_{\xi_{ri}}$를 사용하여 실린더 형태 영역 $Y_r$ 위에서 국소적 미분동형사상을 정의한다.
• 국소적 미분동형사상 $\tilde{h}_{ri}$를 $Y_r$에서 $E_{r0}$ 위의 전역적 미분동형사상 $w_{ri}$로 확장하여 $f \circ w_{ri} = f$를 만족하도록 한다. 이를 위해 단위 분할과 시릴리의 확장 정리를 사용한다.
• 원자 성분들의 합집합 $\mathsf{E}$ 위에서 국소 맵들을 조합하여 전역적 미분동형사상 $\lambda_3(h)$를 구성한다. 이는 성분 간의 호환성을 유지하고 $f$를 보존하므로 군 준동형사상 $\chi_3: H \to \mathrm{Diff}(\mathsf{E})$를 정의한다.
• 원자 $\mathsf{E}$ 위의 올린 작용과 나머지 부분 $\mathcal{E}_{V,a}$ 위의 원래 작용을 조합하여 전역적 $H$-작용 $\Sigma$를 정의하고, $s: H \to \mathcal{S}_V(f)$인 단면의 존재를 증명한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 표면 위의 매끄러운 함수의 원자 경계 성분들에 대한 유한군 작용이 전역적인 $f$-보존 미분동형사상으로 올라갈 수 있는 조건은 무엇인가?
• RQ2 군 준동형사상 $\phi: \mathcal{S}(f) \to \mathrm{Aut}(\pi_0 \partial \mathcal{E}_V)$가 이미지 군 $G = \phi(\mathcal{S}(f))$의 부분군 $H$에서의 단면을 허용하는 조건은 무엇인가?
• RQ3 임계 수준 집합 주변의 경계에 대한 유한군 작용으로부터 전역적인 $f$-보존 미분동형사상 군 작용을 어떻게 구성할 수 있는가?
• RQ4 함수의 국소적 점근형 구조(예: 중복 선형 인수를 갖지 않는 동차 다항식)는 이러한 올림을 가능하게 하는 데 어떤 역할을 하는가?
• RQ5 벡터장의 유동을 사용하여 실린더 형태 영역 위의 국소적 미분동형사상을 전체 표면 위의 전역적인 $f$-보존 미분동형사상으로 확장할 수 있는가?

주요 결과

• 원자 $\mathcal{E}_V$의 경계 성분들에 작용하는 유한군 $H$가 전역적인 $f$-보존 미분동형사상 군 작용으로 올라갈 수 있는 충분조건이 확립되었으며, 이는 단면 $s: H \to \mathcal{S}_V(f)$를 통해 실현된다.
• 이 올림은 실린더 형태 영역 $Y_r$ 위에서 정의된 국소적 미분동형사상의 흐름 기반 확장을 통해, 원자 성분들의 합집합 $\mathsf{E}$ 위에서 전역적 미분동형사상 $\lambda_3(h)$를 구성함으로써 달성된다.
• 이 구성은 경계 실린더 위에서 정의된 매끄러운 함수 $\xi_{ri}$를 더 큰 영역 $E_{r0}$ 위의 벡터장으로 확장함에 의존하며, 이 유동이 $f$를 보존하도록 보장된다.
• 벡터장의 $C^\infty$-확장이 시릴리의 확장 정리에 의해 보장되며, 결과적으로 얻어진 미분동형사상 $w_{ri}$는 $E_{r0}$ 위에서 $f \circ w_{ri} = f$를 만족한다.
• 최종적으로 전역적 $H$-작용 $\Sigma$는 잘 정의되어 있으며 연속적이다. 이는 $\mathsf{E}$ 위의 올린 작용과 $\mathcal{E}_{V,a}$ 위의 원래 작용을 조합함으로써 정의되며, 단면 $s$의 존재를 증명한다.
• 이 결과는 임계점에서의 국소 점근형이 $\mathbb{R}^2$에서 중복 선형 인수를 갖지 않는 동차 다항식과 매끄럽게 동치인 폭넓은 매끄러운 함수 $f$에 대해 성립한다.