[논문 리뷰] ADI finite difference schemes for option pricing in the Heston model with correlation

Karel in ’t Hout, S. Foulon|arXiv (Cornell University)|2008. 11. 20.

Stochastic processes and financial applications참고 문헌 33인용 수 181

한 줄 요약

이 논문은 자산 수익률과 변동성 과정 간의 확률적 상관관계로 인해 발생하는 혼합 미분항을 포함한 헤스톤 PDE를 해결하기 위해 네 가지 변형된 양방향 간섭법(ADI) 유한차분 스킴—Douglas, Craig & Sneyd, 수정된 Craig & Sneyd, 그리고 Hundsdorfer & Verwer—을 제안하고 분석한다. 이 스킴들은 조건부 안정성이 보장되며, 유럽식 및 바리에이션 옵션 가격 설정에 매우 효과적임을 입증하였으며, 세 스킴은 실제 시장 파arameter 하에서 특히 강력하고 정확한 것으로 밝혀졌다.

ABSTRACT

This paper deals with the numerical solution of the Heston partial differential equation that plays an important role in financial option pricing, Heston (1993, Rev. Finan. Stud. 6). A feature of this time-dependent, two-dimensional convection-diffusion-reaction equation is the presence of a mixed spatial-derivative term, which stems from the correlation between the two underlying stochastic processes for the asset price and its variance. Semi-discretization of the Heston PDE, using finite difference schemes on a non-uniform grid, gives rise to large systems of stiff ordinary differential equations. For the effective numerical solution of these systems, standard implicit time-stepping methods are often not suitable anymore, and tailored time-discretization methods are required. In the present paper, we investigate four splitting schemes of the Alternating Direction Implicit (ADI) type: the Douglas scheme, the Craig & Sneyd scheme, the Modified Craig & Sneyd scheme, and the Hundsdorfer & Verwer scheme - each of which contains a free parameter. ADI schemes were not originally developed to deal with mixed spatial-derivative terms. Accordingly, we first discuss the adaptation of the above four ADI schemes to the Heston equation. Subsequently, we present various numerical examples with realistic data sets from the literature, where we consider European call options as well as down-and-out barrier options. Combined with ample theoretical stability results for ADI schemes that have recently been obtained in In 't Hout & Welfert (2007, Appl. Numer. Math.), we arrive at three ADI schemes that all prove to be very effective in the numerical solution of the Heston PDE with a mixed derivative term.

연구 동기 및 목표

• 자산 수익률 과정과 변동성 과정 간의 상관관계로 인해 발생하는 혼합 공간 미분항을 포함한 시간에 의존하는 이변수 헤스톤 PDE를 수치적으로 해결하는 데 발생하는 도전 과제를 해결하기 위해.
• 원래 혼합 미분항을 고려하지 않도록 설계된 고전적 ADI 스킴들을 헤스톤 모델 프레임워크 내에서 효과적으로 사용할 수 있도록 적응시키기 위해.
• 헤스톤 PDE에 혼합 미분항이 존재하는 상황에서 네 가지 ADI 스킴(Douglas, Craig & Sneyd, 수정된 Craig & Sneyd, Hundsdorfer & Verwer)의 안정성과 정확도를 평가하기 위해.
• 비균일 격자 상에서 헤스톤 PDE의 반디스크리티제이션으로 발생하는 강성 있는 ODE 시스템을 해결하기 위한 신뢰할 수 있는 수치적 해법을 제공하기 위해.
• 다양한 옵션 유형에 대해 실제 시장 데이터를 사용한 수치 실험을 통해 변형된 ADI 스킴의 실용적 효과성을 입증하기 위해.

제안 방법

• 비균일 공간 격자 상에서 유한차분 스킴을 사용한 헤스톤 PDE의 반디스크리티제이션을 통해 강성 있는 대규모 ODE 시스템을 도출한다.
• 헤스톤 PDE의 혼합 미분항을 처리할 수 있도록 네 가지 ADI 스킴—Douglas, Craig & Sneyd, 수정된 Craig & Sneyd, 그리고 Hundsdorfer & Verwer—을 적응시킨다.
• 각 ADI 스킴에 자유 매개변수를 통합하여 안정성과 수렴 성질을 최적화한다.
• In 't Hout & Welfert (2007)의 이론적 안정성 결과를 활용하여 변형된 스킴의 안정성을 검증한다.
• 강성 문제에 적합한 타임스텝핑 방법을 적용하여 도출된 ODE 시스템을 수치적으로 해결한다.
• 실제 헤스톤 모델 파arameter를 사용한 벤치마크 옵션 가격 설정 문제(유럽식 콜옵션 및 다운-아웃 바리에이션 옵션 포함)에 대한 구현 및 테스트를 수행한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 고전적 ADI 스킴들은 자산 수익률과 변동성 과정 간의 상관관계로 인해 발생하는 혼합 미분항을 효과적으로 적응시킬 수 있는가?
• RQ2 혼합 미분항이 존재하는 헤스톤 PDE에 적용되었을 때, 어떤 ADI 스킴이 조건부 안정성과 높은 정확도를 유지하는가?
• RQ3 변형된 ADI 스킴은 실제 시장 조건 하에서 표준 유럽식 옵션과 경로 의존적 바리에이션 옵션의 가격 설정에 어떻게 성능을 발휘하는가?
• RQ4 각 ADI 스킴에 포함된 자유 매개변수는 수치적 해의 수렴성과 안정성에 어떤 영향을 미치는가?
• RQ5 In 't Hout & Welfert (2007)의 이론적 안정성 결과는 헤스톤 모델의 상관관계를 고려한 변형된 ADI 스킴에 어느 정도 적용 가능한가?

주요 결과

• Douglas, 수정된 Craig & Sneyd, 그리고 Hundsdorfer & Verwer 스킴은 혼합 미분항이 존재하는 헤스톤 PDE를 해결하는 데 있어 조건부 안정성과 매우 높은 효율성을 보였다.
• 변형된 ADI 스킴은 다양한 시험 케이스(유럽식 콜옵션 및 다운-아웃 바리에이션 옵션 포함)에서 강력한 수렴성과 높은 정확도를 보였다.
• 수치 실험 결과, 반디스크리티제이션으로 인한 강성 있는 시스템을 비록 비균일 격자에서 해결하더라도 스킴들이 안정성과 효율성을 유지함을 확인하였다.
• 각 스킴에 자유 매개변수를 통합함으로써 수치 성능를 최적화할 수 있었으며, 이는 안정성을 향상시키고 수치적 확산을 감소시키는 데 기여하였다.
• In 't Hout & Welfert (2007)의 이론적 안정성 프레임워크가 상관관계를 고려한 헤스톤 모델의 맥락에서 검증되었다.
• 네 개의 ADI 스킴 중 세 개—Douglas, 수정된 Craig & Sneyd, 그리고 Hundsdorfer & Verwer—는 실용적 옵션 가격 설정 응용 분야에서 특히 효과적이고 신뢰할 수 있는 것으로 나타났다.