[논문 리뷰] Adiabatic approximation with better than exponential accuracy for many-body systems and quantum computation

Daniel A. Lidar, A. T. Rezakhani외 1명|arXiv (Cornell University)|2008. 08. 20.

Spectroscopy and Quantum Chemical Studies인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 애디아바틱 양자 계산을 위해 특화된 보완된 애디아바틱 정리(adiabatic theorem)를 제안하며, 해석적 해밀토니안 진화 조건, 경계에서 시간 도함수의 값이 0이 되는 조건, 그리고 비가역적인 갭이 있는 목표 상태 조건 하에서, 시간에 따른 진화 상태의 정밀도 오차가 진화 시간에 대해 지수 함수보다 더 잘 수렴함을 보여준다. 핵심 결과는 진화 시간이 해밀토니안의 시간 도함수 노름의 제곱을 최소 스펙트럼 갭의 세제곱으로 나눈 값과 비례함을 나타낸다.

ABSTRACT

We derive a version of the adiabatic theorem that is especially suited for applications in adiabatic quantum computation, where it is reasonable to assume that the adiabatic interpolation between the initial and final Hamiltonians is controllable. Assuming that the Hamiltonian is analytic in a finite strip around the real time axis, that some number of its time-derivatives vanish at the initial and final times, and that the target adiabatic eigenstate is non-degenerate and separated by a gap from the rest of the spectrum, we show that one can obtain an error between the final adiabatic eigenstate and the actual time-evolved state which is exponentially small in the evolution time, where this time itself scales as the square of the norm of the time-derivative of the Hamiltonian, divided by the cube of the minimal gap.

연구 동기 및 목표

• 애디아바틱 상태 준비의 정확도를 향상시키기 위해 애디아바틱 정리를 보완함으로써 양자 계산에서의 정밀도 향상.
• 지수 함수보다 더 나은 오차 스케일링을 달성하기 위해 표준 애디아바틱 정리의 한계를 해결함.
• 애디아바틱 오차가 진화 시간에 대해 지수적으로 작아지는 조건을 규명함.
• 초기 및 최종 해밀토니안 사이의 제어 가능한 보간을 갖는 애디아바틱 양자 계산을 위한 엄밀한 프레임워크 제공.

제안 방법

• 해밀토니안이 실수 시간 축 주변의 유한한 스트립 내에서 해석적임을 가정하여 해석적 계속 기법을 활용함.
• 초기 및 최종 시간에서 해밀토니안의 첫 번째 몇 차수의 시간 도함수가 0이 되도록 조건을 설정하여 비애디아바틱 전이를 억제함.
• 스펙트럼 갭 조건을 적용하여 목표 고유상태가 비가역적이며 스펙트럼의 나머지 부분에서 분리되어 있음을 보장함.
• 복소해석학과 시간에 의존하는 양자역학적 섭동 이론을 적용하여 다른 고유상태로의 전이 진폭을 경계함.
• 진화 시간과 스펙트럼 갭에 따라 실제 시간 진화 상태와 목표 애디아바틱 고유상태 간 오차의 경계를 유도함.
• 진화 시간이 ||Ḣ||² / Δ³과 비례함을 보여주며, 여기서 ||Ḣ||는 해밀토니안의 시간 도함수의 노름이고 Δ는 최소 갭이다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 실제 양자 계산 조건 하에서 진화 시간에 대해 지수 함수보다 더 작은 오차를 달성할 수 있는가?
• RQ2 해밀토니안의 시간 의존성과 스펙트럼 구조에 어떤 조건이 비가역적 오차 스케일링을 가능하게 하는가?
• RQ3 경계에서 시간 도함수의 값이 0이 되는 것이 다체계에서 애디아바틱 오차에 어떤 영향을 미치는가?
• RQ4 해밀토니안의 시간 도함수의 노름과 스펙트럼 갭에 대해 진화 시간의 최적 스케일링은 무엇인가?
• RQ5 해밀토니안이 복소 스트립 내에서 해석적이면 애디아바틱 진화의 수렴 경계가 향상될 수 있는가?

주요 결과

• 제시된 조건 하에서 시간에 따른 진화 상태와 목표 고유상태 간의 애디아바틱 오차는 진화 시간에 대해 지수적으로 작아진다.
• 진화 시간은 해밀토니안의 시간 도함수 노름의 제곱을 최소 스펙트럼 갭의 세제곱으로 나눈 값과 비례한다.
• 경계에서 고차수의 시간 도함수가 0이 되도록 요구할수록 오차 억제 효과가 증가한다.
• 해밀토니안이 복소 스트립 내에서 해석적일 경우 경로 인테그랄과 복소해석학을 활용하여 더 날카운 경계를 도출할 수 있다.
• 비가역적인 목표 상태가 스펙트럼의 나머지 부분에서 갭으로 분리되어 있을 경우 결과가 성립한다.
• 이 프레임워크는 초기 및 최종 해밀토니안 사이의 제어 가능한 보간을 갖는 애디아바틱 양자 계산에 특히 적합하다.