[论文解读] Affine Deligne-Lusztig varieties at infinite level

Charlotte Chan, Alexander B. Ivanov|arXiv (Cornell University)|Nov 27, 2018

Advanced Algebra and Geometry参考文献 26被引用 6

一句话总结

本文建立了Lusztig的半无限Deligne–Lusztig构造与$①_n$内形在无穷级下的仿射Deligne–Lusztig簇之间的同构，证明其上同调实现了由未分歧扩张诱导的超卡普斯迪尔表示的局部Langlands对应与Jacquet–Langlands对应。该工作解决了Lusztig在1979年关于此类情形下超卡普斯迪尔性与代数几何结构的猜想。

ABSTRACT

We initiate the study of affine Deligne-Lusztig varieties with arbitrarily deep level structure for general reductive groups over local fields. We prove that for GLn and its inner forms, Lusztig's semi-infinite Deligne-Lusztig construction is isomorphic to an affine Deligne-Lusztig variety at infinite level. We prove that their homology groups give geometric realizations of the local Langlands and Jacquet--Langlands correspondences in the setting that the Weil parameter is induced from a character of an unramified field extension. In particular, we resolve Lusztig's 1979 conjecture in this setting for minimal admissible characters.

研究动机与目标

• 建立Lusztig的半无限Deligne–Lusztig构造与$①_n$内形在无穷级下的仿射Deligne–Lusztig簇之间的同构。
• 为由未分歧域扩张产生的超卡普斯迪尔表示提供局部Langlands对应的几何实现。
• 通过无穷级簇的上同调，几何地推广Jacquet–Langlands对应。
• 解决Lusztig在1979年关于最小允许特征标的代数几何结构与超卡普斯迪尔性的猜想。

提出的方法

• 在半无限Deligne–Lusztig集与有限级仿射Deligne–Lusztig簇的逆极限之间构造显式同构。
• 利用有限级仿射Deligne–Lusztig簇的已知概形结构，在半无限侧定义自然的概形结构。
• 将Lusztig的特征方法推广至不来自有限环上半单群的Parahoric子群商，以证明其为尖形式。
• 应用Deligne–Lusztig不动点公式，在极大未分歧椭圆环上计算特征。
• 利用Henniart对自守诱导的特征刻画，将几何表示与Langlands参数匹配。
• 采用Mackey准则并限制到Parahoric子群，通过同态空间的消失性证明表示的不可约性。

实验结果

研究问题

• RQ1 Lusztig的半无限Deligne–Lusztig构造是否同构于$①_n$内形在无穷级下的仿射Deligne–Lusztig簇？
• RQ2 无穷级仿射Deligne–Lusztig簇的上同调能否几何地实现由超卡普斯迪尔表示产生的局部Langlands对应？
• RQ3 在最小允许特征标的情形下，该构造是否实现了Jacquet–Langlands对应？
• RQ4 通过此同构，半无限Deligne–Lusztig集是否被赋予自然的概形结构？
• RQ5 该构造所生成的表示是否如Lusztig在1979年猜想的那样不可约且为尖形式？

主要发现

• 对所有$①_n$的内形，半无限Deligne–Lusztig集同构于有限级仿射Deligne–Lusztig簇的逆极限。
• 无穷级簇继承了来自有限级仿射Deligne–Lusztig簇的自然概形结构，解决了Lusztig的一个代数几何猜想。
• 无穷级簇的上同调群实现了由未分歧域扩张诱导的超卡普斯迪尔表示的局部Langlands对应。
• 该构造为最小允许特征标提供了Jacquet–Langlands对应的几何实现。
• 当$\theta \in \mathscr{X}^{\rm min}$时，表示$|R_T^G(\theta)|$不可约，确认了Lusztig猜想中的超卡普斯迪尔性。
• 不可约性的证明依赖于通过限制到Parahoric子群，证明$\operatorname{Hom}_{\gamma ZG_{\mathcal{O}} \gamma^{-1} \cap ZG_{\mathcal{O}}}( |R_T^G(\theta)|, {}^\gamma|R_T^G(\theta)| ) = 0$。