[논문 리뷰] Affine sl_p controls the representation theory of the symmetric group and related Hecke algebras

I. Grojnowski|ArXiv.org|1999. 07. 21.

Algebraic structures and combinatorial models참고 문헌 13인용 수 85

한 줄 요약

이 논문은 아핀 리 대수 $\widehat{\mathfrak{sl}}_\ell$ 가 그로텐디크 군 위에서 작용함으로써 대칭군 및 관련 히드라 대수의 모듈라 표현 이론을 제어함을 밝혀낸다. 이 논문은 $\widehat{\mathfrak{sl}}_\ell$-모듈에 대한 새로운 $p$-보편 기저를 도입하며, 이 기저는 글로벌 크리스탈 기저와 유사한 양의성과 정수성 성질을 공유한다. 또한 기약 표현의 크리스탈 그래프가 대수의 표준 크리스탈 구조와 일치함을 증명한다.

ABSTRACT

In this paper we prove theorems that describe how the representation theory of the affine Hecke algebra of type A and of related algebras such as the group algebra of the symmetric group are controlled by integrable highest weight representations of the characteristic zero affine Lie algebra \hat{sl}_l. In particular we parameterise the representations of these algebras by the nodes of the crystal graph, and give various Hecke theoretic descriptions of the edges. As a consequence we find for each prime p a basis of the integrable representations of \hat{sl}_l which shares many of the remarkable properties, such as positivity, of the global crystal basis/canonical basis of Lusztig and Kashiwara. This {\it $p$-canonical basis} is the usual one when p = 0, and the crystal of the p-canonical basis is always the usual one. The paper is self-contained, and our techniques are elementary (no perverse sheaves or algebraic geometry is invoked).

연구 동기 및 목표

• 아핀 히드라 대수의 표현 이론과 아핀 리 대수 $\widehat{\mathfrak{sl}}_\ell$ 의 기약 표현 이론 사이의 깊은 연결 고리를 확립하기 위해.
• 대칭군과 히드라 대수의 표현 이론을 사용하여 $\widehat{\mathfrak{sl}}_\ell$-모듈에 대한 새로운, 기본적인 $p$-보편 기저를 구성하기 위해.
• 이 $p$-보편 기저가 루슈티그와 카시와라의 글로벌 크리스탈 기저와 유사한 핵심 성질—예를 들어, 음이 아닌 구조 상수와 정수성—을 공유함을 보여주기 위해.
• 특성 $p$ 에서 대칭군의 기약 표현의 크리스탈 그래프가 $\widehat{\mathfrak{sl}}_p$-모듈의 표준 크리스탈 구조와 동형임을 보여주기 위해.

제안 방법

• 특성 $p$ 또는 $0$ 인 체 위에서 아핀 히드라 대수와 순환 히드라 대수의 표현에 대해 그로텐디크 군을 정의하기 위해.
• 모듈 범주 위에서 $e_i$ 와 $f_i$ 를 정의하고, 이들이 그로텐디크 군을 거쳐 아핀 리 대수 $\widehat{\mathfrak{sl}}_\ell$ 에로 올라감을 보장하기 위해.
• 이 연산자들의 코소클 필터를 사용하여 크리스탈 연산자를 정의하고, 이는 기약 표현 위에 조합론적 구조를 제공한다.
• 아핀 히드라 대수의 그로텐디크 군이 $\widehat{\mathfrak{sl}}_\ell$ 의 상부 삼각 부분의 유니버설 포락환 $U\eta_\ell$ 의 쌍대와 동형임을 보이고, 이 구조가 최고 무게 모듈의 작용을 지닌다.
• $\overline{\mathbb{F}}_p$ 위에서 $q$ 가 원시 $\ell$-단위근일 때, 아핀 히드라 대수의 기약 표현의 쌍대로서 $p$-보편 기저를 정의한다.
• $p$-보편 기저가 $e_i$ 와 $f_i$ 에 대해 음이 아닌 정수 구조 상수를 가지며, $p=0$ 일 때 글로벌 크리스탈 기저로 감소함을 증명한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 특성 $p$ 에서 대칭군의 표현 이론은 아핀 리 대수 $\widehat{\mathfrak{sl}}_p$ 의 표현 이론과 어떻게 관련되어 있는가?
• RQ2 히드라 대수의 모듈라 표현 이론으로부터 $\widehat{\mathfrak{sl}}_\ell$ 의 기약 표현에 대한 새로운 기저를 구성할 수 있는가? 이 기저는 루슈티그와 카시와라의 글로벌 크리스탈 기저와 유사한 성질을 가져야 한다.
• RQ3 크리스탈 그래프는 양의 특성에서 대칭군과 히드라 대수의 기약 표현을 정리하는 데 어떤 역할을 하는가?
• RQ4 $\widehat{\mathfrak{sl}}_\ell$ 의 체바렐 생성자 $e_i$ 와 $f_i$ 는 히드라 대수 표현의 그로텐디크 군 위에서 어떻게 작용하는가?
• RQ5 $p$-보편 기저와 루슈티그 및 카시와라의 보편 기저 사이의 관계는 무엇인가?

주요 결과

• 특성 $p$ 에서 $q$ 가 원시 $\ell$-단위근인 $\overline{\mathbb{F}}_p$ 위에서 아핀 히드라 대수의 그로텐디크 군은 $\widehat{\mathfrak{sl}}_\ell$ 의 상부 삼각 부분의 유니버설 포락환 $U\eta_\ell$ 의 쌍대와 동형이며, 이는 호프 대수의 구조를 확립한다.
• 순환 히드라 대수 $H_n^\lambda$ 의 그로텐디크 군은 $\lambda$ 에 의해 결정되는 최고 무게를 가진 $\widehat{\mathfrak{sl}}_\ell$ 의 기약 기약 최고 무게 모듈의 쌍대와 동형이며, 이는 대칭군의 경우를 일반화한다.
• $\widehat{\mathfrak{sl}}_\ell$ 의 $p$-보편 기저는 $\overline{\mathbb{F}}_p$ 위에서 아핀 히드라 대수의 기약 표현의 쌍대로서 정의되며, $e_i$ 와 $f_i$ 에 대한 음이 아닌 정수 구조 상수를 갖는다.
• $p$-보편 기저는 $\widehat{\mathfrak{sl}}_\ell$ 의 모든 기약 최저 무게 모듈에 대해 내림 기저를 형성하며, 그 구조 상수는 음이 아닌 정수이다.
• $p=0$ 일 때, $p$-보편 기저는 루슈티그와 카시와라의 글로벌 크리스탈 기저(보편 기저)와 일치하며, $p$-보편 기저의 크리스탈 그래프는 표준 크리스탈 구조와 정확히 같다.
• 특성 $p$ 에서 $S_n$ 의 기약 모듈라 표현의 수를 세는 생성함수는 $\widehat{\mathfrak{sl}}_p$ 의 기본 표현의 특징과 일치하며, 이는 포크 공간으로 실현된다.