[논문 리뷰] Affinoids in the Lubin-Tate perfectoid space and special cases of the local Langlands correspondence in positive characteristic

Kazuki Tokimoto|arXiv (Cornell University)|2016. 09. 08.

Advanced Algebra and Geometry인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 양의 특성 값을 갖는 기본체 위의 Lubin-Tate perfectoid 공간 내에서 명시적인 affinoid 가닥을 구성하여, 그 형식적 모델의 감소가 특정 표현에 대해 국소 Langlands 및 Jacquet-Langlands 대응을 실현함을 보여준다. 핵심 결과는 이러한 표현들이 전적으로 분할된 확장과 함께 최소 적합 쌍으로 매개화됨을 보여주며, 이는 기본적으로 약한 형태의 국소 Langlands 대응에 대한 기하적 실현을 제공한다.

ABSTRACT

Following Weinstein, Boyarchenko-Weinstein and Imai-Tsushima, we construct a family of affinoids in the Lubin-Tate perfectoid space and formal models such that the cohomology of the reduction of each formal model realizes the local Langlands correspondence and local Jacquet-Langlands correspondence for certain representations. In this paper, the base field is assumed to be of positive characteristic. In the terminology of essentially tame local Langlands correspondence, the representations treated here are characterized as being parametrized by minimal admissible pairs in which the field extensions are totally ramified.

연구 동기 및 목표

• 양의 특성 값을 갖는 국소체 위의 Lubin-Tate perfectoid 공간 내에서 명시적인 affinoid 가닥의 가닥을 구성하기.
• 이들 affinoid의 형식적 모델을 정의하여 그 감소가 국소 Langlands 대응의 코homology 실현을 제공하도록 하기.
• 이 감소의 코homology가 특정 표현에 대해 국소 Jacquet-Langlands 대응을 실현함을 확립하기.
• 관련된 표현들이 전적으로 분할된 확장과 함께 최소 적합 쌍으로 매개화됨을 특성화하기.
• 이전의 본질적으로 약한 형태의 국소 Langlands 대응에 대한 기하적 구성들을 양의 특성 설정으로 확장하기.

제안 방법

• Weinstein, Boyarchenko-Weinstein, Imai-Tsushima가 개발한 perfectoid 공간과 형식적 모델의 프레임워크를 활용하기.
• 양의 특성 값을 갖는 국소체 위의 p-진군에 관련된 Lubin-Tate perfectoid 공간 내에서 affinoid 열린 부분집합의 가닥을 구성하기.
• 기본체의 정수환 위에서 정규적이고 평탄한 형식적 모델을 정의하기.
• 이들 형식적 모델의 특별 섬유(감소)를 분석하여 그 코homology 군에 접근하기.
• 감소의 코homology를 사용하여 Weil-Deligne 군의 기약 표현과 해당 GL(n) 표현을 국소 Langlands 대응을 통해 실현하기.
• 특히, 관련된 표현들이 전적으로 분할된 확장과 함께 최소 적합 쌍으로 매개화된 경우에 집중하기.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 어떻게 perfectoid 공간을 통해 본질적으로 약한 형태의 국소 Langlands 대응을 기하학적으로 실현할 수 있는가?
• RQ2 Lubin-Tate perfectoid 공간 내에서 어떤 특정한 affinoid 가닥이 국소 Langlands 대응의 코homology 실현을 제공하는가?
• RQ3 이들 affinoid의 형식적 모델의 감소는 국소 Langlands 및 Jacquet-Langlands 대응을 어떻게 실현하는가?
• RQ4 전적으로 분할된 확장과 함께 최소 적합 쌍이 실현된 표현을 매개화하는 데 어떤 역할을 하는가?
• RQ5 양의 특성 값을 갖는 기본체 설정이 구성과 그 결과로 얻어지는 코homology 실현에 어떤 영향을 미치는가?

주요 결과

• 모든 구성된 affinoid의 형식적 모델 감소의 코homology는 특정 표현에 대해 국소 Langlands 대응을 실현한다.
• 동일한 코homology 군은 해당 표현에 대해 국소 Jacquet-Langlands 대응을 실현한다.
• 관련된 표현들은 전적으로 분할된 확장과 함께 최소 적합 쌍으로 매개화된다.
• 기하적 구성은 양의 특성에서 본질적으로 약한 형태의 국소 Langlands 대응을 새로운 방식으로 실현한다.
• 이 방법은 이전의 특성 0 설정에서의 결과를 perfectoid 기하학을 통해 양의 특성으로 성공적으로 확장한다.
• 형식적 모델이 기본 정수환 위에서 정규적이고 평탄함을 보여주어 잘 행동하는 코homology 성질을 보장한다.