[논문 리뷰] AIR algebraic multigrid for a space-time hybridizable discontinuous Galerkin discretization of advection(-diffusion)

Abdullah A. Sivas, Ben S. Southworth외 1명|arXiv (Cornell University)|2020. 10. 21.

Advanced Numerical Methods in Computational Mathematics참고 문헌 56인용 수 13

한 줄 요약

이 논문은 이동성이 높은 대류-확산 문제의 전-시간-공간 하이브리드 불연속 갈레르킨(HDG) 이산화에 대해 Approximate Ideal Restriction (AIR) 대수적 다중격자(AMG)를 조건수로 사용하는 방법을 제안한다. 시간에 의존하는 문제를 (d+1)-차원 전-시간-공간에서 정적인 문제로 간주함으로써, AIR는 초점 특성과 일치하는 다중격자 군집화를 통해 강건하고 스케일러블한 수렴성을 달성한다. 이 방법은 균일한 전-시간-공간 메esh와 적응형 전-시간-공간 메쉬 모두에서 빠르고 스케일러블한 수렴을 보이며, 시간에 따라 변하는 영역에서도 성능을 유지한다.

ABSTRACT

This paper investigates the efficiency, robustness, and scalability of approximate ideal restriction (AIR) algebraic multigrid as a preconditioner in the all-at-once solution of a space-time hybridizable discontinuous Galerkin (HDG) discretization of advection-dominated flows. The motivation for this study is that the time-dependent advection-diffusion equation can be seen as a "steady" advection-diffusion problem in $(d+1)$-dimensions and AIR has been shown to be a robust solver for steady advection-dominated problems. Numerical examples demonstrate the effectiveness of AIR as a preconditioner for advection-diffusion problems on fixed and time-dependent domains, using both slab-by-slab and all-at-once space-time discretizations, and in the context of uniform and space-time adaptive mesh refinement. A closer look at the geometric coarsening structure that arises in AIR also explains why AIR can provide robust, scalable space-time convergence on advective and hyperbolic problems, while most multilevel parallel-in-time schemes struggle with such problems.

연구 동기 및 목표

• 모든 시간-공간 HDG 이산화에 대해 AIR AMG를 조건수로 사용할 때의 강건성과 스케일러빌리티를 조사하는 것.
• 병렬 시간 해법을 사용할 때 대류 지배 및 쌍곡형 문제를 효율적으로 해결하는 데 도전하는 문제를 해결하는 것.
• 균일한 메쉬 및 적응형 메쉬 구조를 사용하여 고정 영역과 시간에 따라 변하는 영역 모두에서 AIR AMG의 효과성을 입증하는 것.
• 클래식한 다중격자 방법과는 달리, AIR가 쌍곡형 문제에서 병렬 시간 해법에 비해 우수한 성능을 보이는 이유를 기하학적 다중격자 군집화 구조를 통해 설명하는 것.

제안 방법

• 시간에 의존하는 대류-확산 방정식을 전-시간-공간에서 정적인 문제로 변환하기 위해 전-시간-공간 HDG 이산화를 사용한다.
• 전-시간-공간 전치 형식에서 유도된 큰 비대칭 선형 연립방정식에 대해 AIR 대수적 다중격자를 적용한다.
• HDG 시스템의 본질적 구조를 유지하기 위해 블록 구조 행렬 처리 기법을 사용하며, 블록 역수 스케일링과 블록 릴랙세이션을 포함한다.
• 속도장이 사이클을 포함하지 않는 경우, 공간-시간 HDG 행렬이 위계적 순서에 따라 블록 하삼각행렬로 변환되며, 이는 정확한 프로세스 내 해법을 가능하게 한다.
• 각 프로세스에서 특성 방향으로 정확한 역행렬을 계산하는 블록 암시적 릴랙세이션 전략을 구현하여, 군집화의 조정과 보완한다.
• ZZ 오차 추정자를 사용한 공간-시간 적응형 메쉬 구조화(AMR)를 적용하여 내부 계면을 잘 포착하는 국소적으로 정밀한 메쉬를 생성한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 AIR AMG는 대류 지배 문제에 대해 모든 시간-공간 HDG 이산화에 대해 강건하고 스케일러블한 조건수로 작용할 수 있는가?
• RQ2 대부분의 병렬 시간 해법이 실패하는 쌍곡형 문제에서 AIR AMG는 왜 스케일러블한 수렴을 달성하는가?
• RQ3 HDG 행렬의 블록 구조는 다양한 릴랙세이션 전략을 사용할 때 AIR AMG의 성능에 어떤 영향을 미치는가?
• RQ4 시간에 따라 변하는 도메인과 공간-시간 적응형 메쉬 구조화에서도 AIR AMG는 강건한 수렴을 유지할 수 있는가?
• RQ5 다중격자 군집화가 공간-시간 특성과 일치함으로써 해법의 효과성에 기여하는 역할은 무엇인가?

주요 결과

• 모든 문제 크기에서 AIR AMG는 최대 1000만 개 이상의 자유도를 가진 가장 큰 문제에서도 10~15회 이내의 BiCGSTAB 반복 수렴을 달성한다.
• 블록 역수 스케일링을 사용할 경우 스케일링 없이 사용할 때보다 반복 횟수를 3배 이상 감소시키며, 행렬의 블록 구조 유지의 중요성을 입증한다.
• 프로세스 내 해법 릴랙세이션을 적용할 경우 전진 가우스-세이델보다 반복 횟수를 절반으로 줄이며, 128개 코어에서 거의 완벽한 스케일러빌리티를 달성한다.
• 사이클을 포함하지 않는 속도장이 있는 순수 쌍곡형 문제에서는 스케일링 후 행렬이 하삼각행렬이 되며, 위계적 순서와 가우스-세이델 릴랙세이션을 통해 정확한 해법이 가능하다.
• 시간에 따라 변하는 도메인과 공간-시간 AMR에서도 AIR AMG는 강건한 수렴을 유지하며, 메쉬의 이동과 국소 정밀화가 자연스럽게 처리된다.
• AIR AMG의 성공은 다중격자 군집화를 공간-시간 특성과 일치시키는 능력에 기인하며, 이는 전통적인 공간-시간 분리 다중격자 방법에서는 존재하지 않는 특징이다.