[논문 리뷰] Algebraic complete axiomatisation of ZX-calculus with a normal form via elementary matrix operations

Quanlong Wang|arXiv (Cornell University)|2020. 07. 26.

Quantum Computing Algorithms and Architecture참고 문헌 18인용 수 9

한 줄 요약

이 논문은 기본 행렬 연산을 사용하여 큐비트 ZX-계산법의 대수적이고 완전한 공리계를 제시하며, 다이어그램적 정규형을 통해 완전성에 도달한다. 삼각법 규칙 대신 대수적 단계 연산을 사용하고 기본 행렬을 ZX 다이어그램으로 표현함으로써, 이 형식은 순수하게 다이어그램적인 선형 대수학을 가능하게 하며, 외부 결과나 초월 함수에 의존하지 않는 내부적이고 자가 일관된 완전성 증명을 제공한다.

ABSTRACT

In this paper we give a complete axiomatisation of qubit ZX-calculus via elementary transformations which are basic operations in linear algebra. This formalism has two main advantages. First, all the operations of the phases are algebraic ones without trigonometry functions involved, thus paved the way for generalising complete axiomatisation of qubit ZX-calculus to qudit ZX-calculus and ZX-calculus over commutative semirings. Second, we characterise elementary transformations in terms of ZX diagrams, so a lot of linear algebra stuff can be done purely diagrammatically.

연구 동기 및 목표

• 삼각함수를 피하는 완전하고 대수적인 큐비트 ZX-계산법의 공리계를 개발하는 것.
• 기본 행렬 변환에서 유도된 다이어그램적 정규형을 통해 완전성을 확립하는 것.
• 대수적 단계 연산을 사용하여 큐디트 ZX-계산법과 가환 세미링 위에서의 ZX-계산법으로의 일반화를 가능하게 하는 것.
• ZW-계산법과 같은 외부 프레임워크나 이전의 완전성 결과에 의존하지 않고, 오직 ZX-계산법 규칙만을 사용하여 자가 일관된 완전성 증명을 제공하는 것.

제안 방법

• 기본 행렬(행 교환, 스케일링, 덧셈)을 대수적 단계 연산을 사용하여 ZX 다이어그램으로 표현하는 것.
• 2의 거듭제곱의 합으로 분해된 단계의 재귀적 분해를 기반으로 하여 ZX 상태 다이어그램의 정규형을 정의하는 것.
• 단계 구조를 다루고 표준형을 달성하기 위해 (Sym), (Aso), (Pcy), (S uc) 등의 다이어그램 규칙을 사용하는 것.
• 사상-상태 대칭성을 활용하여 정규형을 상태에서 임의의 행렬으로 확장하는 것.
• 정규형을 생성자와 스칼라에 적용하여, 그것들이 표준형으로 재기록될 수 있음을 증명하는 것.
• 다이어그램적 해석 하에서 두 행렬이 동일할 경우 그 정규형도 동일함을 보여 정규성의 완전성을 확립하는 것.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 삼각함수 없이 큐비트 ZX-계산법의 완전하고 대수적인 공리계를 달성할 수 있는가?
• RQ2 외부 완전성 결과에 의존하지 않고 ZX-계산법의 완전성을 내부적으로 증명할 수 있는가?
• RQ3 기본 행렬 연산이 ZX-다이어그램 프레임워크 내에서 완전히 표현되고 다룰 수 있는가?
• RQ4 ZX 다이어그램에 대해 표준 정규형이 존재하여 자가 일관된 완전성 증명이 가능한가?
• RQ5 이 형식은 큐디트 시스템과 가환 세미링으로 일반화될 수 있는가?

주요 결과

• 논문은 오직 대수적 단계 연산과 기본 행렬 변환만을 사용하여 큐비트 ZX-계산법의 완전하고 대수적인 공리계를 제공한다.
• 형식의 모든 규칙은 대수적이며 삼각함수를 피함으로써 큐디트 및 세미링 기반 ZX-계산법으로의 일반화가 가능하다.
• 2의 거듭제곱의 합으로 분해된 단계의 재귀적 분해를 통해 임의의 ZX 상태 다이어그램에 대한 정규형이 구성되며, 이는 표준 표현을 이끈다.
• 정규형은 모든 생성자와 스칼라가 유일한 표준형으로 재기록될 수 있도록 하여 자가 일관된 완전성 증명을 가능하게 한다.
• 완전성 증명은 오직 ZX-계산법 규칙에 의존하며 ZW-계산법이나 이전의 완전성 결과와 같은 외부 프레임워크에 의존하지 않는다.
• 이 방법은 선형 시스템을 해결하는 것과 같은 선형 대수 연산의 다이어그램적 다루기 가능성을 제공한다.