[논문 리뷰] Algebraic Cycles, Fundamental Group of a Punctured Curve, and Applications in Arithmetic

Payman Eskandari|arXiv (Cornell University)|2015. 11. 29.

Algebraic Geometry and Number Theory참고 문헌 26인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 구멍이 난 곡선 위의 반복 적분과 고차원에서의 대수적 사이클 사이의 기하학적·산술적 연결을 일반화한다. $X^{2n-1}$ 위에 존재하는 영-호모로지 대수적 사이클을 구성함으로써, 기본군의 유니폴라르 라디칼의 혼합 히지 확장 $\mathbb{E}^{\infty}_{n,e}$ 를 실현하며, 이러한 확장이 구멍의 위치 $\infty$ 를 유일하게 결정한다는 것을 증명한다. 산술적 응용에서는 장비의 $K$-유리점이 대수적 사이클과 연관되며, 토크션 점들은 비자명한 주기 관계를 유도한다.

ABSTRACT

The results of this paper can be divided into two parts, geometric and arithmetic. Let $X$ be a smooth projective curve over $\mathbb{C}$, and $e,\infty\in X(\mathbb{C})$ be distinct points. Let $L_n$ be the mixed Hodge structure of functions on $π_1(X-\{\infty\},e)$ given by iterated integrals of length $\leq n$ (as defined by Hain). In the geometric part, inspired by a work of Darmon, Rotger, and Sols, we express the mixed Hodge extension $\mathbb{E}^\infty_{n,e}$ given by the weight filtration on $\frac{L_n}{L_{n-2}}$ in terms of certain null-homologous algebraic cycles on $X^{2n-1}$. As a corollary, we show that the extension $\mathbb{E}^\infty_{n,e}$ determines the point $\infty\in X-\{e\}$. The arithmetic part of the paper gives some number-theoretic applications of the geometric part. We assume that $X=X_0\otimes_K\mathbb{C}$ and $e,\infty\in X_0(K)$, where $K$ is a subfield of $\mathbb{C}$ and $X_0$ is a projective curve over $K$. Let $Jac$ be the Jacobian of $X_0$. We use the extension $\mathbb{E}^\infty_{n,e}$ to associate to each $Z\in CH_{n-1}(X_0^{2n-2})$ a point $P_Z\in Jac(K)$, which can be described analytically in terms of iterated integrals. The proof of $K$-rationality of $P_Z$ uses that the algebraic cycles constructed in the geometric part of the paper are defined over $K$. Assuming a certain plausible hypothesis on the Hodge filtration on $L_n(X-\{\infty\},e)$ holds, we show that an algebraic cycle $Z$ for which $P_Z$ is torsion, gives rise to relations between periods of $L_2(X-\{\infty\},e)$. Interestingly, these relations are non-trivial even when one takes $Z$ to be the diagonal of $X_0$. The geometric result of the paper in $n=2$ case, and the fact that one can associate to $\mathbb{E}^\infty_{2,e}$ a family of points in $Jac(K)$, are due to Darmon, Rotger, and Sols. Our contribution is in generalizing the picture to higher weights.

연구 동기 및 목표

• 중량 2에서 고차원 $n \geq 2$로 반복 적분과 대수적 사이클 사이의 기하학적·산술적 연결을 확장하는 것.
• 혼합 히지 확장 $\mathbb{E}^{\infty}_{n,e}$ 를 실현하는 $X^{2n-1}$ 위의 명시적 영-호모로지 대수적 사이클을 구성하는 것.
• $\mathbb{E}^{\infty}_{n,e}$ 가 구멍의 위치 $\infty \in X - \{e\}$ 를 유일하게 결정한다는 것을 보이는 것.
• $X_0^{2n-2}$ 에서의 대수적 사이클을 반복 적분을 통해 장비 $\mathrm{Jac}(K)$ 위의 $K$-유리점에 연계하는 것.
• 토션 점이 이미지에 속해 있을 경우, $L_2(X - \{\infty\}, e)$ 의 주기들 사이에 비자명한 관계가 존재함을 증명하는 것 — 대각선 사이클의 경우에도 마찬가지로 성립한다.

제안 방법

• $\pi_1(X - \{\infty\}, e)$ 의 유니폴라르 기본군 위에 반복 적분을 사용하여 길이 $\leq n$ 인 이론을 이용해 혼합 히지 구조 $L_n$ 을 구성한다.
• $\mathbb{E}^{\infty}_{n,e}$ 를 $L_n$ 과 $L_{n-2}$ 의 몫으로 정의하며, 혼합 히지 구조를 갖는다.
• $X^n$ 에 대한 $X^{n-1}$ 의 대각선 매립을 통해 $X^{2n-1}$ 위의 대수적 사이클 $\Delta_{n,e}$ 와 $Z^{\infty}_{n,e}$ 를 구성하고, 이들이 확장 $\mathbb{E}^{\infty}_{n,e}$ 를 표현함을 보인다.
• 각 사이클 $Z \in \mathrm{CH}_{n-1}(X_0^{2n-2})$ 에 대해 아벨-자코비 사상으로 $\mathrm{Jac}(K)$ 위의 점 $P_Z$ 를 연결하며, 이는 반복 적분을 통해 해석적으로 묘사된다.
• $L_n(X - \{\infty\}, e)$ 의 히지 필터링에 대한 가정을 사용하여, 토크션 $P_Z$ 가 $L_2(X - \{\infty\}, e)$ 의 주기들 사이에 비자명한 관계를 유도함을 증명한다.
• 타원 곡선의 경우, 이러한 주기 관계가 존재함과 동시에 $e - \infty$ 가 토크션임이 동치임을 조건 없이 증명한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 반복 적분과 대수적 사이클 사이의 기하학적 구성은 중량 2에서 고차원 $n \geq 3$ 으로 일반화될 수 있는가?
• RQ2 $\mathbb{E}^{\infty}_{n,e}$ 가 구멍이 난 곡선 위의 구멍 위치 $\infty$ 를 유일하게 결정하는가?
• RQ3 히지 이론적 확장 $\mathbb{E}^{\infty}_{n,e}$ 는 $K$-정의 곡선의 장비 위에 $K$-유리점을 생성하는 데 어떻게 활용될 수 있는가?
• RQ4 관련된 점 $P_Z$ 가 토크션일 경우 어떤 주기 관계가 발생하며, 이는 사이클 $Z$ 에 따라 어떻게 달라지는가?
• RQ5 타원 곡선의 경우, 대각선 사이클에 의해 유도되는 주기 관계의 존재성은 $e - \infty$ 가 토크션임과 동치인가?

주요 결과

• $\mathbb{E}^{\infty}_{n,e}$ 는 $X^{n-1}$ 의 대각선 매립을 통해 구성된 영-호모로지 대수적 사이클 $Z^{\infty}_{n,e}$ 를 통해 기하학적으로 실현된다.
• $\mathbb{E}^{\infty}_{n,e}$ 는 기하학적 구성의 따름으로서 $\infty \in X - \{e\}$ 를 유일하게 결정한다.
• $X_0^{2n-2}$ 에 속한 각 $Z \in \mathrm{CH}_{n-1}(X_0^{2n-2})$ 에 대해, 이 구성은 $\mathrm{Jac}(K)$ 위의 $K$-유리점 $P_Z$ 를 유도하며, 이는 반복 적분을 통해 해석적으로 묘사된다.
• 히지 필터링에 대한 가정을 두면, 토크션 $P_Z$ 는 $L_2(X - \{\infty\}, e)$ 의 주기들 사이에 비자명한 관계를 유도한다. 이는 $Z$ 가 $X_0$ 의 대각선일 경우에도 마찬가지로 성립한다.
• 종수 1의 경우, 대각선 사이클에 의해 유도되는 주기 관계가 존재함과 동시에 $e - \infty$ 가 토크션임이 동치이며, 이는 조건 없이 증명된다.