[论文解读] Algebraic localization implies exponential localization in non-periodic insulators

Jianfeng Lu, Kevin D. Stubbs|arXiv (Cornell University)|Jan 7, 2021

Spectral Theory in Mathematical Physics参考文献 19被引用 5

一句话总结

该论文证明，在二维非周期性绝缘体中，若费米投影的正交基具有 $|\mathbf{x}|^{5+\epsilon}$ 阶的代数衰减，则存在一个指数局部化的基。作者通过构造一个依赖于费米投影算符的自伴位置算符，证明了足够可积的代数局部化意味着指数局部化，从而在不依赖拓扑不变量的前提下支持了非周期性系统中的局域化二分猜想。

ABSTRACT

Exponentially-localized Wannier functions are a basis of the Fermi projection of a Hamiltonian consisting of functions which decay exponentially fast in space. In two and three spatial dimensions, it is well understood for periodic insulators that exponentially-localized Wannier functions exist if and only if there exists an orthonormal basis for the Fermi projection with finite second moment (i.e. all basis elements satisfy $\int |\boldsymbol{x}|^2 |w(\boldsymbol{x})|^2 \, ext{d}{\boldsymbol{x}} < \infty$). In this work, we establish a similar result for non-periodic insulators in two spatial dimensions. In particular, we prove that if there exists an orthonormal basis for the Fermi projection which satisfies $\int |\boldsymbol{x}|^{5 + ε} |w(\boldsymbol{x})|^2 \, ext{d}{\boldsymbol{x}} < \infty$ for some $ε> 0$ then there also exists an orthonormal basis for the Fermi projection which decays exponentially fast in space. This result lends support to the Localization Dichotomy Conjecture for non-periodic systems recently proposed by Marcelli, Monaco, Moscolari, and Panati

研究动机与目标

• 建立非周期性绝缘体中代数局部化与指数局部化之间的联系，且不依赖于拓扑不变量。
• 通过证明强代数衰减蕴含指数局部化，支持非周期性系统中的局域化二分猜想。
• 构造一个针对费米投影算符定制的自伴位置算符，以实现在非周期性设置下的局域化分析。
• 通过去除对称性和拓扑假设，将局域化-拓扑对应关系从周期性系统推广至更一般情形。
• 为无序或非周期性材料中的Wannier函数局域化提供严格的泛函分析框架。

提出的方法

• 构造一个依赖于费米投影算符 $P$ 的自伴位置算符 $\widehat{X}$，其近似标准位置算符但具有局部作用。
• 利用 $\widehat{X}$ 的谱性质，通过解析延拓估计和Schur引理分析 $P$ 的值域中态的局域化。
• 应用Young卷积不等式以控制格点指标上的求和，确保 $\chi_{\mathbf{k}}(X - m_1)\psi_{\mathbf{m}}^{(j)}$ 的矩阵元有衰减估计。
• 使用带权 $L^2$ 范数，权重为 $|\mathbf{x}|^{5+\epsilon}$，以量化代数衰减，并通过所构造的算符将其与指数衰减关联。
• 利用引理 A.2 估计加权算符作用于基态时的 $L^2$-范数，确保在 $s > 5/2$ 条件下保持有限。
• 通过在 $m_1$ 和 $m_2$ 方向迭代应用Schur引理和卷积估计，建立矩阵元的统一有界性。

实验结果

研究问题

• RQ1 在非周期性二维绝缘体中，若 $|\mathbf{x}|^{5+\epsilon}$ 的 $L^2$-可积性成立，是否意味着代数局部化蕴含指数局部化？
• RQ2 是否可以在不引入拓扑不变量或晶格对称性的前提下支持局域化二分猜想？
• RQ3 是否可能构造一个自伴算符，以捕捉非周期性系统中费米投影算符的空间局域化特性？
• RQ4 Wannier函数的最小衰减条件是什么，才能保证指数局域化？
• RQ5 如何利用Schur引理和Young不等式等泛函分析技术，证明非周期性系统中局域化的等价性？

主要发现

• 若存在费米投影的正交基，使得对某个 $\epsilon > 0$ 有 $\int |\mathbf{x}|^{5+\epsilon} |w(\mathbf{x})|^2 d\mathbf{x} < \infty$，则存在一个指数局部化的基。
• 指数局域化以 $e^{2\gamma^*|\mathbf{x}|}$ 的速率实现，且该基中所有状态的衰减速率一致，$\gamma^* > 0$。
• 所构造的算符 $\widehat{X}$ 是自伴且局部定义的，其存在使证明无需假设周期性或对称性。
• 证明依赖于通过Schur引理和Young卷积不等式对矩阵元进行有界估计，且加权算符的 $L^2$-范数通过引理 A.2 保证有界。
• 该结果在基态具有有限 $s$ 阶矩且 $s > 5/2$ 的条件下成立，确保估计所需的足够衰减。
• 关键技术步骤是证明和式 $\sum_{\mathbf{m}'} \sum_{\mathbf{k}} \frac{|m_1 - k_1|}{|\lambda - m_1'|} \frac{\|\chi_{\mathbf{k}}(X - m_1)\psi_{\mathbf{m}}^{(j)}\|}{\langle m_1' - k_1\rangle^{1/2+\epsilon}\langle m_2' - k_2\rangle^{1+\epsilon}}$ 一致有界，该有界性蕴含指数局域化。