[论文解读] Algebraic Representations of Ergodic Actions and Super-Rigidity

Uri Bader, Alex Furman|arXiv (Cornell University)|Nov 14, 2013

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 13被引用 8

一句话总结

本文通过建立遍历作用的代数表示，并证明在任意具有绝对值的完备域上，高秩群及其乘积群的格的上循环超刚性，将Margulis与Zimmer的超刚性定理进行了推广。关键结果表明，在Zariski稠密性和无界性条件下，从格到群的同态可连续延拓至全群；在混合性与非退化性条件下，上循环同调于同态。

ABSTRACT

We revisit Margulis-Zimmer Super-Rigidity and provide some generalizations. In particular we obtain super-rigidity results for lattices in higher-rank groups or product of groups, targeting at algebraic groups over arbitrary fields with absolute values. We also obtain cocycle super-rigidity results for a wide class of groups with respect to mixing actions. Our approach is based on a systematic study of algebraic representations of ergodic actions.

研究动机与目标

• 将Margulis的超刚性定理推广至任意具有绝对值的完备域上的高秩群的格。
• 为由逐次交换、非紧致子群生成的群的混合作用建立上循环超刚性。
• 通过系统研究遍历作用的代数表示，统一并推广先前关于均匀格与S-算术群的结果。
• 证明在混合作用上，非退化上循环同调于到伴随单代数群的连续同态。
• 为映射类群、自由群自同构群及右角Artin群等多样群类提供适用框架。

提出的方法

• 使用$k$-代数群与$k$-簇，系统建立遍历群作用的代数表示理论。
• 利用由逐次交换、非紧致子群生成的局部紧第二可数群的结构，且其首因子为可约群。
• 应用可约性论证与可测丛中的不变截面，从上循环构造等变映射。
• 利用双正则表示范畴中初始对象的存在性，构造紧致子群与同态。
• 借助Howe-Moore定理与混合性质，确保遍历性，并将从格到全群的同态延拓。
• 应用拉回与上同调技术，将上循环问题约化为到陪集空间与有界子群商的等变映射。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，从高秩$l$-群的格到$G(k)$的同态可连续延拓至全群$T$，其中$k$为具有绝对值的完备域？
• RQ2 在何种条件下，混合作用上的可测上循环同调于连续群同态？
• RQ3 作用群的何种结构条件（如由交换子群生成）可保证上循环的超刚性？
• RQ4 如何利用遍历作用的代数表示理论推广Margulis与Zimmer的超刚性定理？
• RQ5 哪些群类（如映射类群、自由群自同构群）满足上循环超刚性的条件？

主要发现

• 定理1.1表明，任何从高秩$l$-群的格到$G(k)$的Zariski稠密且无界的同态，若$k$为具有绝对值的完备域，则可连续延拓至全群$T$到$G$的同态。
• 定理1.2将此结果推广至lcsc群乘积中的不可约格，表明此类同态可连续延拓至全乘积群。
• 定理1.3证明，对于由逐次交换的非紧致子群生成、且首因子为可约群的群$T$，任何非退化上循环与$G(k)$的连续同态同调。
• 证明表明，若$(S,T_0)$-作用为$c$-遍历，则上循环同调于有界子群，与非退化性矛盾，故初始假设必不成立。
• 双正则表示范畴中初始对象的存在性，导致紧致子群$L_i$与同态$d_i: T_i \to L_i$的存在，从而可构造到$G/N$的$c$-等变映射。
• 推论13.4表明，在测度耦合中，若满足混合性与非退化性条件，则上循环$c:S\times X\to G$同调于$d\bigcirc e$，其中$d:T\to G$为连续同态。