[论文解读] Homological methods in semi-infinite contexts

Sam Raskin|arXiv (Cornell University)|Feb 4, 2020

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 39被引用 8

一句话总结

本文为半无限情形发展了同调方法，特别是将DG范畴上的群作用扩展至循环群和仿射李代数。引入了无限维ind概形上的ind-凝聚层、群ind概形的弱作用，以及通过模特征构造半无限上同调的新方法，最终证明了临界水平Kac-Moody表示的导出范畴在循环群及其中心作用下具有对称性。

ABSTRACT

Actions of algebraic groups on DG categories provide a convenient, unifying framework in some parts of geometric representation theory, especially the representation theory of reductive Lie algebras. We extend this theory to loop groups and affine Lie algebras, extending previous work of Beraldo, Gaitsgory and the author. Along the way, we introduce some subjects of independent interest: ind-coherent sheaves of infinite type indschemes, topological DG algebras, and weak actions of group indschemes on categories. We also present a new construction of semi-infinite cohomology for affine Lie algebras, based on a modular character for loop groups. As an application of our methods, we establish an important technical result for Kac-Moody representations at the critical level, showing that the appropriate ("renormalized") derived category of representations admits a large class of symmetries coming from the adjoint action of the loop group and from the center of the enveloping algebra.

研究动机与目标

• 将DG范畴上群作用的理论从半单群推广到半无限情形下的循环群和仿射李代数。
• 为循环群情境下的Harish-Chandra数据建立一个框架，解决无限维情形下特有的技术条件问题。
• 利用循环群$G(K)$的模特征，为仿射李代数构造半无限上同调。
• 通过新的范畴框架，证明临界水平Kac-Moody表示的导出范畴同时接受循环群及其中心的交换作用。
• 为完成局部几何Langlands中的一些启发式构造（如阿贝尔情形下量子局部Langlands的双模）提供严格的理论基础。

提出的方法

• 在合理的ind概形上引入ind-凝聚层——即具有几乎有限表示的闭嵌入的拟紧、拟分离、最终共连通概形的过滤列。
• 为合理的ind概形$S$定义$ ext{IndCoh}^*(S)$上的$t$-结构，确保$t$-精确的上推和紧生成性。
• 发展群ind概形在DG范畴上的弱作用理论，推广高范畴设定中的严格群作用。
• 利用循环群$G(K)$的模特征，为仿射李代数构造半无限上同调的新版本。
• 使用Kan扩张和左伴随函子，将$ ext{IndCoh}^*$从概形扩展到收敛预层，保持$t$-结构和紧对象。
• 将该理论应用于证明$ ext{Rep}_{ ext{crit}}( ilde{rak{g}})$通过Feigin-Frenkel同构，同时接受$G(K)$和中心${rak{Z}}$的交换作用。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何将DG范畴上群作用的理论从半单群推广到半无限情形下的循环群？
• RQ2 在$G(K)$无限维的背景下，定义$G(K)$-作用于DG范畴的Harish-Chandra数据的正确条件是什么？
• RQ3 能否利用循环群的模特征构造仿射李代数的半无限上同调？
• RQ4 中心${rak{Z}}$和循环群$G(K)$如何作用于临界水平Kac-Moody表示的导出范畴？这些作用是否相容？
• RQ5 能否利用该新框架完成阿贝尔情形下局部Langlands双模的启发式构造？

主要发现

• 临界水平Kac-Moody表示的导出范畴接受明确的循环群$G(K)$作用，扩展了先前的几何构造。
• 完成包络代数$U( ilde{rak{g}}_{ ext{crit}})$的中心${rak{Z}}$作用于同一范畴，且与$G(K)$-作用交换。
• Feigin-Frenkel同构将$ ext{Spf}({rak{Z}})$识别为在去掉原点的圆盘上$ ilde{G}$-联络的ind-概形，为中心提供了几何解释。
• 通过$G(K)$的模特征，为仿射李代数实现了半无限上同调的新构造，推广了经典方法。
• 在合理的ind概形上发展了ind-凝聚层理论，具有规范的$t$-结构和紧生成性，使无限维几何中的同调方法成为可能。
• 该框架使得此前依赖于启发式Harish-Chandra数据的阿贝尔情形下量子局部Langlands猜想的完成成为可能。