[논문 리뷰] Algebraic Type Theory and Universe Hierarchies

Jonathan Sterling|arXiv (Cornell University)|2019. 02. 23.

Logic, programming, and type systems참고 문헌 25인용 수 13

한 줄 요약

이 논문은 Russell 방식의 유니버스를 갖는 Martin-Löf 유형 이론의 순수 대수적 공식화를 제시하며, 이러한 유니버스가 복잡한 유형 인코딩 없이도 대수적으로 모델링될 수 있음을 보여준다. 계산 가능성 모델과 초기 대수 구조를 사용하여 종속 함수, 유니버스, 그리고 두 원소를 갖는 기본 유형을 포함하는 유형 이론에 대해 귀납성을 입증한다.

ABSTRACT

It is commonly believed that algebraic notions of type theory support only universes à la Tarski, and that universes à la Russell must be removed by elaboration. We clarify the state of affairs, recalling the details of Cartmell's discipline of _generalized algebraic theory_, showing how to formulate an algebraic version of Coquand's cumulative cwfs with universes à la Russell. To demonstrate the power of algebraic techniques, we sketch a purely algebraic proof of canonicity for Martin-Löf Type Theory with universes, dependent function types, and a base type with two constants.

연구 동기 및 목표

• 대수적 유형 이론이 유니버스를 `Tarski 방식`으로만 모델링할 수 있다는 오해를 바로잡고, `Russell 방식`의 유니버스도 대수적으로 정의 가능함을 보여주는 것.
• 잘못된 형식과 등가성 판단의 단계적 처리를 포함한 일반화된 대수적 이론(GATs)의 간결하고 현대적인 표현을 개발하는 것.
• 종속 함수, 유니버스, 그리고 기본 유형을 포함하는 핵심 유형 이론에 대해 순수 대수적 방법으로 귀납성을 입증하는 것.
• 초기 대수를 기반으로 한 계산 가능성 모델 구축이 `Russell 방식`의 유니버스를 해석하는 데 지원되며, 귀납성 증명을 가능하게 한다는 것을 보여주는 것.
• 계산 가능성 모델에서 기본 유형 이론으로의 사영 함수 π가 등가성과 용어 구조를 유지하므로, 정규 값의 추출이 가능하다는 것을 확립하는 것.

제안 방법

• 유형의 형식적 검증을 단순화하기 위해 전제 조건을 포함한 현대화된 단계적 GAT 표현을 형식화하는 것.
• 각 용어가 유니버스 계층에서 실현자(증명 용어)를 갖는 맥락의 범주 위에서의 접합 구조로 계산 가능성 모델을 정의하는 것.
• 맥락, 치환, 유형 형성자(종속 함수 유형 및 유니버스 포함)를 범주 이론적 맥락에서 초기 대수를 사용하여 해석하는 것.
• `Russell 방식`의 유니버스를 크기로 색인화된 논리적 가족의 가족으로 해석하며, 실현자가 누적 계층 Vα에 속한다는 것을 정의하는 것.
• 유형 이론 TΠ_cwf의 초기 모델 C를 통해, 기본 유형의 닫힌 용어 M은 반드시 red 또는 green의 하나와 등가임을 보장하는 것.
• 실현자를 忽略하지만 등가성과 용어 구조를 유지하는 계산 가능성 모델에서 기본 유형 이론으로의 사영 함자 π를 적용하는 것.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 일반화된 대수적 유형 이론 내에서, 유형 인코딩이나 확장 없이 `Russell 방식`의 유니버스를 대수적으로 모델링할 수 있는가?
• RQ2 종속 함수 유형, `Russell 방식`의 유니버스, 그리고 두 상수를 갖는 기본 유형을 포함하는 유형 이론에 대해 순수 대수적 및 범주론적 방법으로 귀납성을 증명할 수 있는가?
• RQ3 계산 가능성 모델을 어떻게 수정하여 `Russell 방식`의 유니버스를 해석함으로써 증명의 비의존성과 누적성을 유지할 수 있는가?
• RQ4 초기성은 어떤 방식으로 기본 유형의 닫힌 용어가 정규 값으로 감소하도록 보장하는가?
• RQ5 계산 가능성 모델에서 기본 유형 이론으로의 사영이 등가성과 용어 구조를 유지하는지 입증할 수 있는가?

주요 결과

• `Russell 방식`의 유니버스는 크기로 색인화된 논리적 가족의 가족으로 모델링되며, 실현자가 누적 계층 Vα에 속함으로써 일반화된 대수적 유형 이론 내에서 대수적으로 해석될 수 있다.
• 계산 가능성 모델 구축은 종속 함수, 유니버스, 그리고 두 원소를 갖는 기본 유형을 포함하는 Martin-Löf 유형 이론에 대해 순수 대수적 방법으로 귀납성을 입증한다.
• 유형 이론 TΠ_cwf의 초기 모델 C는, 닫힌 용어 M의 유형이 El(· ⊢ color)일 경우 반드시 red 또는 green과 등가임을 보장하며, 이는 사영 π와 초기성의 보편 성질을 통해 입증된다.
• 계산 가능성 모델에서 기본 유형 이론으로의 사영 함자 π는 TΠ_cwf-대수의 준동형사상이며, 등가성과 용어 구조를 유지한다.
• 유형 상승의 해석은 잘 정의되어 있으며 누적 계층을 존중하여, ⇑βαA가 A와 동일한 원소를 갖는다는 것을 보장한다.
• 종속 함수 유형의 해석은 닫힌 맥락과 그 실현자 위에서 색인화된 함수의 가족으로 주어지며, 적용과 추상화의 명시적 처리가 포함되어 있다.