[논문 리뷰] Algebraic weighted colimits

Seerp Roald Koudenburg|arXiv (Cornell University)|2013. 04. 15.

Advanced Topics in Algebra참고 문헌 5인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 프로모르피즘(장비)을 갖춘 2-범주에서 대수적 가중 침습을 도입하며, 고전적 침습, 칸 확장, 그리고 강화 범주론적 구성들을 일반화한다. 닫힌 장비에서 점별 가중 침습과 대수적으로 정의된 가중 침습이 일치함을 증명하고, 장비 위의 모나드에 대한 대수에서의 잊혀진 함자에 沿해 가중 침습이 올라감을 미약한 조건 하에 증명하며, 게츠러의 대칭 모나드 함자에 대한 결과를 확장한다.

ABSTRACT

In this thesis weighted colimits in 2-categories equipped with promorphisms are studied. Such colimits include most universal constructions with counits, like ordinary colimits in categories, weighted colimits in enriched categories, and left Kan extensions. In the first chapter we recall the notion of 2-categories equipped with promorphisms (also simply called equipments), that provide a coherent way of adding bimodule-like morphisms to a 2-category. In the second chapter we recall two ways of defining weighted colimits in equipments. Most important to us is their original definition, introduced by Wood, in equipments that are endowed with a closed structure. The second notion, of what we call pointwise weighted colimits, was introduced by Grandis and Paré. It requires no extra structure and generalises Street's notion of pointwise left Kan extensions in 2-categories. The main result of the second chapter gives a condition, on closed equipments, under which these two notions coincide. In the third chapter we consider monads on equipments. The main idea of this thesis, given in the fourth chapter, generalises the notions of lax and colax morphisms, of algebras over a 2-monad, to notions of lax and colax promorphisms, of algebras over a monad on an equipment. One of these, that of right colax promorphisms, is well suited to the construction of weighted colimits. In particular, given a monad T on an equipment K, we will show that T-algebras, colax T-morphisms and right colax T-promorphisms form a double category T-rcProm. Although weaker than equipments, double categories still allow definition of weighted colimits, and our main result states that the forgetful functor T-rcProm -> K lifts all weighted colimits whenever K is closed, under some mild conditions on T.

연구 동기 및 목표

• 2-범주에서의 가중 침습 개념을 칸 확장과 강화 침습 같은 구조를 포함하도록 일반화하기 위해.
• 닫힌 장비에서 점별 가중 침습(Grandis-Paré에 의한)과 대수적으로 정의된 침습을 통합하기 위해.
• 게츠러의 대칭 모나드 함자에 대한 왼쪽 칸 확장 결과를 장비 위의 모나드로 확장하기 위해.
• 장비 위의 모나드에 대한 대수의 라그스 및 코라그스 프로모르피즘을 정의하고, 오른쪽 코라그스 프로모르피즘의 이중 범주를 구성하기 위해.
• 장비가 닫혀 있고 모나드가 미약한 조건을 만족할 때, T-대수에서의 잊혀진 함자 K로의 가중 침습이 모두 올라감을 증명하기 위해.

제안 방법

• 이중 범주와 장비를 사용하여 2-범주의 이중모듈러스와 사상들을 모델링한다.
• 두 가지 가중 침습의 정의를 정의한다: 하나는 닫힌 구조를 통한 것(Wood), 다른 하나는 점별적인 것(Grandis-Paré), 그리고 닫힌 장비에서 이 둘이 동치임을 증명한다.
• 대수적 프로모르피즘—장비 위의 모나드에 대한 대수의 라그스 및 코라그스 사상—을 도입하며, 침습 구성에 있어 오른쪽 코라그스 프로모르피즘에 집중한다.
• T-대수, 코라그스 T-사상, 오른쪽 코라그스 T-프로모르피즘의 이중 범주 T-Promrc를 구성한다.
• 이중 범주의 이론을 적용하여 가중 침습을 정의하고, K가 닫혀 있고 T가 미약한 조건을 만족할 때, 잊혀진 함자 T-Promrc → K가 모든 가중 침습을 올린다는 것을 증명한다.
• 탄성 동형사상과 수반 함자를 사용하여 T-Promrc 내에서의 텐서 곱 J ⊳ K 구성에서 라그스 구조 세포의 결합법칙과 항등원 공리의 타당성을 검증한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 닫힌 장비에서 점별 가중 침습과 대수적으로 정의된 가중 침습이 어떤 조건에서 일치하는가?
• RQ2 K가 닫혀 있고 T가 K 위의 모나드일 때, T-대수에서의 잊혀진 함자 K로의 가중 침습이 올라갈 수 있는가?
• RQ3 장비 위의 모나드에 대한 대수의 라그스 및 코라그스 프로모르피즘은 어떻게 정의되어야 하며, 침습 구성에 기여하는가?
• RQ4 오른쪽 코라그스 프로모르피즘은 모나드 대수에서의 가중 침습 구성에서 어떤 역할을 하는가?
• RQ5 T-Promrc에서의 이중 범주 이론은 K에서 T-대수로의 가중 침습을 어떻게 올리는가?

주요 결과

• 닫힌 장비에서 Wood의 정의와 Grandis-Paré의 점별 정의에 의한 두 가중 침습의 개념은 장비에 대한 미약한 조건 하에서 일치한다.
• 장비가 닫혀 있고 T가 미약한 조건을 만족할 때, T-Promrc의 이중 범주에서 T-대수와 오른쪽 코라그스 프로모르피즘으로부터의 잊혀진 함자 K로의 모든 가중 침습이 올라간다.
• T-Promrc 내에서 텐서 곱 J ⊳ K의 구성은 결합법칙과 항등원 공리를 만족하는 라그스 구조 세포를 갖추고 있으며, 이는 타당성을 보장한다.
• 타당성 증명은 일련의 동형사상과 rho 및 lambda 사상의 함자성에 기반하며, 주요 등식은 µε 및 ev 사상에 관여한다.
• 라그스 구조의 항등원 및 결합법칙 공리는 수반 복합체를 비교하고 모나드의 구조에서 유도된 타당성 동형사상을 사용하여 검증된다.
• 올림 결과는 게츠러의 대칭 모나드 함자에 대한 왼쪽 칸 확장 정리의 일반화로서, 유사한 보존 결과를 위한 범주론적 프레임워크를 제공한다.