[논문 리뷰] Algorithms and Hardness for Diameter in Dynamic Graphs

Bertie Ancona, Monika Henzinger외 3명|arXiv (Cornell University)|2018. 11. 29.

Complexity and Algorithms in Graphs참고 문헌 30인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 방향성 및 무방향 그래프에서 그래프 지름, 반지름, 그리고 원심도에 대한 거의 최적의 동적 근사 알고리즘을 제시하며, 증가/감소하는 단일 소스 최단 경로(SSSP)로의 환원을 활용한다. 일반적인 미세 복잡도 가정 하에, 기존의 전체 APSP를 재계산하거나 유지하는 것보다 훨씬 나은 완전 동적 근사 알고리즘은 존재하지 않음을 증명한다. 감소 그래프에서 지름에 대해 거의 (3/2 + ϵ)-근사 알고리즘을 총 시간 m^{1+o(1)}√n/ϵ² 내에서 달성하며, 이는 정적 알고리즘의 조건부 최적성과 일치한다.

ABSTRACT

The diameter, radius and eccentricities are natural graph parameters. While these problems have been studied extensively, there are no known dynamic algorithms for them beyond the ones that follow from trivial recomputation after each update or from solving dynamic All-Pairs Shortest Paths (APSP), which is very computationally intensive. This is the situation for dynamic approximation algorithms as well, and even if only edge insertions or edge deletions need to be supported. This paper provides a comprehensive study of the dynamic approximation of Diameter, Radius and Eccentricities, providing both conditional lower bounds, and new algorithms whose bounds are optimal under popular hypotheses in fine-grained complexity. Some of the highlights include: - Under popular hardness hypotheses, there can be no significantly better fully dynamic approximation algorithms than recomputing the answer after each update, or maintaining full APSP. - Nearly optimal partially dynamic (incremental/decremental) algorithms can be achieved via efficient reductions to (incremental/decremental) maintenance of Single-Source Shortest Paths. For instance, a nearly $(3/2+ε)$-approximation to Diameter in directed or undirected graphs can be maintained decrementally in total time $m^{1+o(1)}\sqrt{n}/ε^2$. This nearly matches the static $3/2$-approximation algorithm for the problem that is known to be conditionally optimal.

연구 동기 및 목표

• 지름, 반지름, 원심도와 같은 기본 그래프 파라미터에 대한 동적 근사 알고리즘에 대한 이해 격차를 메우기 위해.
• SETH와 같은 미세 복잡도 가정 하에 완전 동적 근사에 대한 조건부 하한을 설정하기 위해.
• 동적 SSSP 유지로의 환원을 통해 거의 최적의 부분 동적(증가/감소) 알고리즘을 개발하기 위해.
• 기존의 동적 근사 bound가 조건부 최적인지, 아니면 향상시킬 수 있는지 판단하기 위해.
• 근사 품질, 업데이트 시간, 동적 그래프 연산 간의 상호 교환 관계를 종합적으로 분석하기 위해.

제안 방법

• 동적 지름, 반지름, 원심도 근사 문제를 증가 또는 감소하는 단일 소스 최단 경로(SSSP) 유지로 환원한다.
• 근사 오차를 (1−ϵ) 요소 내로 제한하기 위해 결정적 중심 선택 전략을 사용하여 근사 원심도를 제공하는 정점 집합을 샘플링한다.
• 근사 오차를 제어하기 위해 오차 매개변수 ϵ′ = ϵ/2를 사용하는 근사 SSSP 데이터 구조를 활용한다.
• 각 정점마다 최대 추정 거리를 추적하기 위해 최대 힙(max-heap)를 유지하며, 이는 질의 응답에 사용된다.
• 각 업데이트 후 중심 집합을 효율적으로 갱신할 수 있도록 엣지 삽입을 지원하는 수정된 SSSP 알고리즘을 적용한다.
• 강한 연결 성분(SCC) 탐지 및 정점 ID 재할당을 통해 삽입 후 중심 집합이 단조롭고 올바른 상태를 유지하도록 보장한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 SETH 하에, 지름에 대한 완전 동적 (4/3 − ϵ)-근사 알고리즘이 APSP 기반의 ˜O(n²) 평균 업데이트 시간을 초월해 개선될 수 있는가?
• RQ2 감소 그래프에서 지름에 대한 (3/2 + ϵ)-근사 알고리즘이 조건부 최적인지, 아니면 더 향상시킬 수 있는가?
• RQ3 동적 SSSP 유지로의 환원을 통해 반지름과 원심도에 대한 거의 최적의 동적 근사 알고리즘을 달성할 수 있는가?
• RQ4 SETH 하에, 원심도에 대한 기존의 동적 근사 bound(예: (5/3 − ϵ))가 조건부 최적인지 여부는 무엇인가?
• RQ5 근사 비율, 업데이트 시간, 그리고 동적 SSSP를 서브루틴으로 사용하는 것 사이의 상호 교환 관계는 어떠한가?

주요 결과

• SETH 하에, 지름에 대한 완전 동적 (4/3 − ϵ)-근사 알고리즘은 ˜O(n²)보다 더 나은 평균 업데이트 시간을 달성할 수 없으며, 이는 APSP 기반의 bound와 일치한다.
• 감소 그래프에서 지름에 대해 거의 (3/2 + ϵ)-근사 알고리즘을 총 시간 ˜O(m^{1+o(1)}√n/ϵ²) 내에서 유지할 수 있으며, 이는 정적 3/2-근사 알고리즘의 조건부 최적성과 거의 일치한다.
• 무방향, 방향, 강한 연결된 그래프에서 증가하는 원심도에 대해, (1−ϵ)-근사 알고리즘을 총 시간 ˜O((Tinc(n,m,D′,ϵ)+m)n/(ϵ²D′)) 내에서 유지할 수 있으며, 이때 D′ ≤ ε(v)는 매개변수로 사용된다.
• 근사의 정확성은 각 정점 v에 대해, v에서 가장 먼 정점으로부터 거리 ϵ′D′ 이내에 중심이 존재함을 보장함으로써 유지되며, 이는 삼각 부등식을 통해 (1−ϵ) 근사가 가능하게 한다.
• 엣지 삽입 후 중심 집합의 초과 집합을 ID 재할당을 통해 유지함으로써 중심 집합의 단조성과 정확성을 보장한다.
• 총 실행 시간은 n개의 삽입 동안 중심 갱신에 ˜O(mn)이 소요되며, SCC 알고리즘은 O(m^{3/2}) 시간을 추가로 소요한다. 이는 모두 총 복잡도 내에서 제한된다.