[논문 리뷰] Algorithms and hardness results for happy coloring problems

N. R. Aravind, Subrahmanyam Kalyanasundaram외 2명|arXiv (Cornell University)|2017. 05. 23.

Advanced Graph Theory Research참고 문헌 18인용 수 15

한 줄 요약

이 논문은 부분적으로 k-색으로 칠해진 그래프에서 행복한 간선 또는 정점을 최대화하는 문제의 알고리즘 복잡도를 연구한다. k ≥ 3일 때 이중 그래프와 스플릿 그래프에서 NP-완전성을 증명하며, O*(2^n) 시간에 실행되는 정확한 알고리즘을 제시한다. k=3일 경우 더 빠른 O*(1.89^n) 알고리즘도 제공한다. 또한 가중치가 있는 변형에 대해 선형 정점 커널을 제시하고, 트리폭이나 이웃 다각도가 유계인 그래프에서는 다항식 시간 해법을 제공한다.

ABSTRACT

In a vertex-colored graph, an edge is happy if its endpoints have the same color. Similarly, a vertex is happy if all its incident edges are happy. Motivated by the computation of homophily in social networks, we consider the algorithmic aspects of the following Maximum Happy Edges (k-MHE) problem: given a partially k-colored graph G, find an extended full k-coloring of G maximizing the number of happy edges. When we want to maximize the number of happy vertices, the problem is known as Maximum Happy Vertices (k-MHV). We further study the complexity of the problems and their weighted variants. For instance, we prove that for every k >= 3, both problems are NP-complete for bipartite graphs and k-MHV remains hard for split graphs. In terms of exact algorithms, we show both problems can be solved in time O*(2^n), and give an even faster O*(1.89^n)-time algorithm when k = 3. From a parameterized perspective, we give a linear vertex kernel for Weighted k-MHE, where edges are weighted and the goal is to obtain happy edges of at least a specified total weight. Finally, we prove both problems are solvable in polynomial-time when the graph has bounded treewidth or bounded neighborhood diversity.

연구 동기 및 목표

• 부분적으로 k-색으로 칠해진 그래프에서 행복한 간선과 정점을 최대화하는 문제의 계산 복잡도를 조사한다.
• 일반 그래프를 초월해 이중 그래프와 스플릿 그래프와 같은 특정 그래프 클래스로의 난이도 결과를 확장한다.
• 문제의 무게 없는 및 가중치가 있는 변형에 대해 정확한 지수 시간 알고리즘을 개발한다.
• 특히 가중치가 있는 변형에 대한 커널화를 포함한 매개변수화된 복잡도를 탐색한다.
• 문제가 다항식 시간 내에서 해결 가능한 다항식 시간으로 해결 가능한 그래프 클래스를 식별한다.

제안 방법

• 기존의 NP-난해 문제에서의 축소를 통해 이중 그래프와 스플릿 그래프에서 k-MHE 및 k-MHV의 NP-완전성을 증명한다.
• 정점 부분집합에 대한 동적 프로그래밍을 사용하여 k-MHE 및 k-MHV에 대해 O*(2^n)-시간 알고리즘을 설계한다.
• 맞춤형 분할 전략을 사용하여 k=3일 경우 시간 복잡도를 O*(1.89^n)으로 최적화한다.
• 비색상 정점과 같은 색상의 정점을 병합하여 가중치가 있는 그래프 H를 구성함으로써 문제를 더 작은 인스턴스로 축소한다.
• 이웃 다각도 t를 활용하여 정점 이웃의 구조적 대칭성을 이용해 O*(2^t)-시간 알고리즘을 설계한다.
• 각 비색상 정점 집합이 단색이 되는 최적의 색칠이 존재함을 증명함으로써 효율적인 커널화와 더 작은 인스턴스로의 축소를 가능하게 한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 k ≥ 3일 때 이중 그래프에서 k-MHE 문제는 NP-완전한가?
• RQ2 k ≥ 3일 때 스플릿 그래프에서 k-MHV는 여전히 NP-난해한가?
• RQ3 트리폭이나 이웃 다각도가 유계인 그래프에서 k-MHE 및 k-MHV 문제는 지수 시간 이하로 해결 가능한가?
• RQ4 k=3일 때 k-MHE 및 k-MHV 문제를 해결하는 데 가능한 최적의 시간 복잡도는 무엇인가?
• RQ5 해결책 크기로 매개변수화할 때 k-MHV의 가중치가 있는 변형은 다항식 커널을 갖는가?

주요 결과

• 모든 k ≥ 3에 대해 이중 그래프에서 k-MHE 및 k-MHV는 NP-완전하다.
• 모든 k ≥ 3에 대해 스플릿 그래프에서 k-MHV는 NP-완전하다.
• 무게 없는 k-MHE 및 k-MHV 문제는 O*(2^n) 시간에 해결 가능하며, k=3일 경우 더 빠른 O*(1.89^n) 알고리즘이 존재한다.
• 가중치가 있는 k-MHE는 선형 정점 커널을 갖는다. 이는 효율적인 매개변수화된 계산을 가능하게 한다.
• 입력 그래프의 트리폭이나 이웃 다각도가 유계일 경우 k-MHE 및 k-MHV는 모두 다항식 시간 내에서 해결 가능하다.
• 각 비색상 정점 집합이 단색이 되는 최적의 색칠이 존재하며, 이는 정점 병합을 통한 더 작은 그래프로의 효율적 축소를 가능하게 한다.