[논문 리뷰] Algorithms to Compute the Lyndon Array

František Franěk, A. S. M. Sohidull Islam외 2명|arXiv (Cornell University)|2016. 05. 28.

Algorithms and Data Compression참고 문헌 9인용 수 13

한 줄 요약

이 논문은 문자열의 릴리드 배열을 계산하기 위한 다섯 가지 알고리즘을 제시하며, 특히 전체 데이터 구조인 접미사 배열을 사용하지 않는 두 가지 새로운 $\epsilon(n\log n)$-시간 방법을 포함한다. 주요 기여는 선형 시간, 기본적인 알고리즘으로 릴리드 배열을 계산할 수 있을 것이라는 추측이며, 이는 대부분의 알고리즘이 실제로 근사 선형 시간 내에 작동한다는 실험적 증거에 의해 뒷받침된다.

ABSTRACT

We first describe three algorithms for computing the Lyndon array that have been suggested in the literature, but for which no structured exposition has been given. Two of these algorithms execute in quadratic time in the worst case, the third achieves linear time, but at the expense of prior computation of both the suffix array and the inverse suffix array of x. We then go on to describe two variants of a new algorithm that avoids prior computation of global data structures and executes in worst-case n log n time. Experimental evidence suggests that all but one of these five algorithms require only linear execution time in practice, with the two new algorithms faster by a small factor. We conjecture that there exists a fast and worst-case linear-time algorithm to compute the Lyndon array that is also elementary (making no use of global data structures such as the suffix array).

연구 동기 및 목표

• 릴리드 배열을 효율적으로 계산하기 위해 필수적인 러닝(run) 계산에 기여하는 릴리드 배열을 계산하는 기존 및 신규 알고리즘을 체계적으로 분석하고 제시하는 것.
• 접미사 배열과 같은 무거운 전역 데이터 구조에 의존하지 않고 릴리드 배열을 계산하는 알고리즘을 개발하고 평가하는 것.
• 실제 성능과 이론적 분석을 바탕으로 릴리드 배열에 대해 선형 시간, 기본적인 알고리즘이 존재하는지 탐구하는 것.
• 다양한 문자열 유형에서 시간 복잡도와 상수 요소 측면에서 다양한 접근 방식의 실용적 효율성을 비교하는 것.
• 이전에는 형식적으로나마 체계적인 분석 없이 기술된 알고리즘들을 종합적으로 설명하는 것.

제안 방법

• 세 가지 기존 알고리즘을 제안함: 두 가지는 최악의 경우 $O(n^2)$ 시간을 가지며, 하나는 접미사 배열과 역접미사 배열을 사용해 $O(n)$ 시간을 확보함.
• 새로운 알고리즘인 NSV$^*$의 두 가지 변형을 도입함. 범위 비교를 위해 파리크 벡터를 사용해 $O(\sigma)$-시간 범위 비교를 가능하게 함.
• 범위의 내용을 표현하기 위해 파리크 벡터 $P_r[1..\sigma]$를 사용함으로써, 기존의 $O(\ell)$ 대비 $O(\sigma)$ 시간 내에 부분문자열의 사전순 비교를 가능하게 함.
• 스택 기반의 활성 범위 추적 메커니즘과 $\text{nextequal}[j]$를 사용해 주기성을 탐지하고 중복 비교를 방지함.
• 두 가지 버전을 구현함: NPNSV$^*$ (파리크 벡터 없음)와 PNSV$^*$ (파리크 벡터 있음)로, 모두 최악의 경우 $O(n\log n)$ 시간을 확보함.
• 주 계산 단계 동안 효율적인 범위 비교를 가능하게 하기 위해 파리크 벡터를 $O(n)$ 시간 내에 사전 처리함.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 접미사 배열을 생성하지 않고 기본 데이터 구조만을 사용해 릴리드 배열을 $O(n)$ 시간 내에 계산할 수 있는가?
• RQ2 다양한 문자열 유형(예: 랜덤 및 주기적 문자열 포함)에서 기존 및 신규 알고리즘의 실용적 성능은 어떻게 되는가?
• RQ3 파리크 벡터의 사용은 릴리드 배열 계산 알고리즘의 효율성과 최악의 복잡도에 어떤 영향을 미치는가?
• RQ4 접미사 배열을 사용하는 알고리즘과 사용하지 않는 알고리즘 사이에 상수 요소와 캐시 동작 측면에서 뚜렷한 성능 격차가 존재하는가?
• RQ5 새로운 $O(n\log n)$-시간 알고리즘이 기존의 $O(n^2)$-시간 방법보다 대규모 입력에서 실제로 더 빠른가?

주요 결과

• 테스트한 다섯 알고리즘 중 유일하게 최악의 경우 복잡도가 높지 않은 MaxLyn과 두 가지 새로운 NSV$^*$ 변형을 제외한 나머지 알고리즘은 실질적으로 근사 선형 시간 성능을 보였으며, 이는 최악의 경우 복잡도가 다양하더라도 그렇다는 뜻이다.
• 파리크 벡터를 사용하는 PNSV$^*$ 버전은 작은 이진 문자열에서는 MaxLyn보다 약 10배 느리지만, 더 긴 문자열에서는 경쟁력 있는 성능을 유지한다.
• 랜덤 이진 문자열에서는 PNSV$^*$와 NPNSV$^*$가 MaxLyn보다 2~3배 더 빠르게 작동하여 평균 입력에서 뛰어난 성능을 보임.
• 높은 주기성을 가진 문자열에서는 MaxLyn이 NSV$^*$ 변형보다 비슷한 수준으로 빠르게 작동하여, 알고리즘 선택이 입력의 구조에 따라 달라진다는 것을 시사함.
• NSV$^*$의 최악의 입력은 $O(n\log n)$ 범위 매칭을 요구하며, 이는 이론적 $O(n\log n)$ bound를 확인하는 것으로, 파리크 벡터 버전은 이 복잡도를 $O(\sigma)$ 요소와 함께 그대로 계승함.
• 이론적 최악의 복잡도에도 불구하고 실험 결과는 선형 시간, 기본적인 알고리즘이 존재할 수 있을 것이라는 추측을 뒷받침하며, 이는 저자들이 그러한 알고리즘의 존재를 추측하게 되는 계기가 되었다.