[논문 리뷰] All orders structure and efficient computation of linearly reducible elliptic Feynman integrals

Martijn Hidding, Francesco Moriello|arXiv (Cornell University)|2017. 12. 12.

Cryptography and Residue Arithmetic인용 수 11

한 줄 요약

이 논문은 차원 조절자 𝜖에 대해 임의의 순서까지 체계적으로 해결 가능한 선형으로 감소 가능한 타원 피아노 인테그랄을 도입한다. 이는 내부 다중로그함수 부분(IPP)으로의 1차원 적분을 통해 이루어지며, 이 IPP는 적분별 부분적분(IBP)과 𝜖-형 정규화 미분방정식을 통해 타원 다중로그함수(eMPLs)로 표현 가능하다. 이를 통해 물리 영역 내에서 두 및 세 점 함수에 대한 완전한 해석적 해를 도출할 수 있다.

ABSTRACT

We define linearly reducible elliptic Feynman integrals, and we show that they can be algorithmically solved up to arbitrary order of the dimensional regulator in terms of a 1-dimensional integral over a polylogarithmic integrand, which we call the inner polylogarithmic part (IPP). The solution is obtained by direct integration of the Feynman parametric representation. When the IPP depends on one elliptic curve (and no other algebraic functions), this class of Feynman integrals can be algorithmically solved in terms of elliptic multiple polylogarithms (eMPLs) by using integration by parts identities. We then elaborate on the differential equations method. Specifically, we show that the IPP can be mapped to a generalized integral topology satisfying a set of differential equations in $\\epsilon$-form. In the examples we consider the canonical differential equations can be directly solved in terms of eMPLs up to arbitrary order of the dimensional regulator. The remaining 1-dimensional integral may be performed to express such integrals completely in terms of eMPLs. We apply these methods to solve two- and three-points integrals in terms of eMPLs. We analytically continue these integrals to the physical region by using their 1-dimensional integral representation.

연구 동기 및 목표

• 다중로그함수를 초월하여 임의의 순서 𝜖에서 알고리즘적으로 해결 가능한 타원 피아노 인테그랄의 클래스를 정의하고 특성화하는 것.
• 차원 조절자 𝜖에 대해 임의의 순서까지 이러한 인테그랄을 체계적으로 계산하는 방법을 개발하는 것.
• 이러한 인테그랄의 내부 다중로그함수 부분(IPP)이 𝜖-형 정규화 미분방정식으로 매핑될 수 있음을 보여주는 것.
• 직접 적분과 IBP 항등식을 통해 전체 해가 타원 다중로그함수(eMPLs)로 표현될 수 있음을 보여주는 것.
• IPP의 1차원 적분 표현을 사용하여 물리 영역으로의 해석적 계속을 가능하게 하는 것.

제안 방법

• 선형으로 감소 가능한 타원 피아노 인테그랄을 정의하여, 그들의 매개변수 표현이 다중로그함수에 대해 순차적 적분이 가능하도록 한다.
• 피아노 매개변수 표현과 직접 적분을 사용하여 인테그랄을 내부 다중로그함수 부분(IPP)에 대한 1차원 적분으로 감소시킨다.
• 적분별 부분적분(IBP) 항등식을 적용하여 IPP를 𝜖-형 정규화 미분방정식의 시스템으로 매핑한다.
• 𝜖-형 정규화 미분방정식을 사용하여 IPP를 𝜖에 대해 임의의 순서까지 타원 다중로그함수(eMPLs)로 해결한다.
• 남은 1차원 적분을 수행하여 전체 피아노 인테그랄을 완전히 eMPLs로 표현한다.
• 1차원 적분 표현을 사용하여 결과를 물리 영역으로 해석적으로 계속시킨다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 차원 조절자 𝜖에 대해 임의의 순서까지 알려진 특수함수를 통해 알고리즘적으로 해결 가능한 타원 피아노 인테그랄의 클래스를 정의할 수 있는가?
• RQ2 이러한 인테그랄의 내부 다중로그함수 부분(IPP)은 IBP와 정규화된 미분방정식을 통해 타원 다중로그함수(eMPLs)로 표현될 수 있는가?
• RQ3 IPP에 대한 정규화된 미분방정식은 eMPLs로 해결되어 𝜖-전개에서 완전한 해를 도출할 수 있는가?
• RQ4 IPP의 1차원 적분 표현을 사용하여 결과를 물리 영역으로 해석적으로 계속시킬 수 있는가?
• RQ5 선형으로 감소 가능한 클래스에 속하는 두 및 세 점 인테그랄은 eMPLs로 완전한 해석적 해를 갖는가?

주요 결과

• 논문은 선형으로 감소 가능한 타원 피아노 인테그랄을 정의하여, 그들의 매개변수 표현이 다중로그함수에 대해 직접 적분이 가능하며, 이는 다중로그함수 적분자(IPP)에 대한 1차원 적분으로 감소함을 보여준다.
• IPP는 적분별 부분적분(IBP) 항등식과 𝜖-형 정규화 미분방정식을 통해 타원 다중로그함수(eMPLs)로 해결될 수 있다.
• IPP에 대한 미분방정식이 𝜖-형임을 보여주어, 𝜖에 대해 임의의 순서까지 직접적으로 eMPLs로 해결 가능함을 확인한다.
• 남은 IPP에 대한 1차원 적분을 수행할 수 있으며, 이는 eMPLs로 표현된 피아노 인테그랄의 완전한 해석적 표현을 도출한다.
• 이 방법은 두 및 세 점 인테그랄을 eMPLs로 성공적으로 계산하며, 마스터 인테그랄과 그 IPP에 대해 명시적인 표현을 제공한다.
• IPP의 1차원 적분 표현을 사용하여 물리 영역으로의 해석적 계속이 성공적으로 수행되었으며, 이는 방법이 물리적으로 관련된 운동역학 영역에서 적용 가능함을 확인한다.