[논문 리뷰] Almost Hyperbolic Groups with Almost Finitely Presented Subgroups

Robert Kropholler|arXiv (Cornell University)|2018. 02. 05.

Geometric and Algebraic Topology참고 문헌 6인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 $\mathbb{Z}^3$ 부분군을 가지지 않지만 $FP_2$ 유형이지만 유한형으로 표현되지 않는 부분군을 포함하는 최초의 CAT(0) 군을 구성하며, $F_{n-1}$이지만 $F_n$이 아닌 군들에서 자유 아벨 부분군의 계수를 $\lceil n/3 \rceil$을 초과하지 않도록 하여, 유한형 군에서 이러한 부분군의 계수에 대한 기존의 하한을 크게 낮춘다.

ABSTRACT

We construct new examples of CAT(0) groups containing non finitely presented subgroups that are of type $FP_2$, these CAT(0) groups do not contain copies of $\mathbb{Z}^3$. We also give a construction of groups which are of type $F_n$ but not $F_{n+1}$ with no free abelian subgroups of rank greater than $\lceil\frac{n}{3} ceil$.

연구 동기 및 목표

• 자기아이소모르프릭 $\mathbb{Z}^3$ 부분군을 포함하지 않지만 $FP_2$ 유형이지만 유한형으로 표현되지 않는 부분군을 포함하는 CAT(0) 군을 구성하는 것.
• 유한형 군에서 알려진 것보다 더 낮은 계수를 가지는 자유 아벨 부분군의 최소 계수를 줄이는 것, 특히 $F_{n-1}$이지만 $F_n$이 아닌 군에서 $\mathbb{Z}^{n-1}$이 요구되는 기존 예제를 개선하는 것.
• 통제된 유한성 성질과 제한된 아벨 부분군 구조를 가진 초하이퍼볼릭 유사 군(거의 초하이퍼볼릭)의 새로운 예를 제공하는 것.
• 비음성 곡률 군에서의 유한성 성질에 대한 이해를 넓히기 위해, 최대 아벨 계수가 $n$에 대해 비선형적으로 증가하는 군을 구성하는 것.

제안 방법

• 플래그 복합체와 관련된 오른쪽-각형 아르틴 군(RAAG)의 분지 덮개를 이용하여 새로운 CAT(0) 큐브 복합체를 구성하는 것.
• 정점의 링크에 대한 도함수 변환을 적용하여 유니버설 커버의 위상 구조를 제어하고, 수준 집합의 기본군이 항상 비자명함을 보장하는 것.
• 유니버설 커버 내의 수준 집합 $X_I$의 시퀀스를 구성하며, 각 $X_I$는 $\mathbb{R}$의 컴acts 인터벌 $I$에 대응하고, 그 기본군을 분석하는 것.
• 이 수준 집합들의 직접 극한을 이용하여 가 contractible인 CAT(0) 공간을 형성하고, 이에 따라 얻어진 군이 구성에 따라 $F_n$ 또는 $FP_n$ 유형이 됨을 보장하는 것.
• RAAG $G$에서 $\mathbb{Z}$로 가는 사상 $g_*$의 커널이 플래그 복합체의 성질에 의해 유한성 성질을 유지하며, 복합체를 수정하여 아벨 부분군의 수를 제한하는 것.
• 그로모프의 링크 기준을 적용: 큐브 복합체가 CAT(0)이기 위한 필요충분조건은 모든 정점의 링크가 플래그 복합체여야 하며, 이 조건을 유지하면서 평면 통합을 제한하여 아벨 계수를 제한하는 것.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 자기아이소모르프릭 $\mathbb{Z}^3$ 부분군을 포함하지 않지만, $FP_2$ 유형이지만 유한형으로 표현되지 않는 부분군을 포함하는 CAT(0) 군을 구성할 수 있는가?
• RQ2 $F_{n-1}$이지만 $F_n$이 아닌 군에서 자유 아벨 부분군의 최소 가능한 계수는 얼마인가?
• RQ3 이러한 군에서 자유 아벨 부분군의 최대 계수를 $n-1$ 이하로 제한할 수 있는가?
• RQ4 $F_{n-1}$이지만 $F_n$이 아닌 군에서 계수가 $\lceil n/3 \rceil$을 초과하지 않는 자유 아벨 부분군이 없는 경우를 구성할 수 있는가?
• RQ5 이러한 군들이 $\mathbb{Z}^3$를 포함하지 않는 CAT(0) 군의 부분군으로서 실현될 수 있는가?

주요 결과

• 논문은 $\mathbb{Z}^3$와 동형인 부분군을 포함하지 않지만, $FP_2$ 유형이지만 유한형으로 표현되지 않는 부분군을 포함하는 CAT(0) 군 $\pi_1(X)$를 구성한다.
• 이 구성은 모든 $n$에 대해 $F_{n-1}$이지만 $F_n$이 아닌 군을 제공하며, 그 안에 계수가 $\lceil n/3 \rceil$을 초과하지 않는 자유 아벨 부분군이 없다.
• RAAG $G$에서 $\mathbb{Z}$로 가는 사상 $g_*$의 커널 $H$는 수준 집합 $X_I$의 기본군에 기반한 모순 추론을 통해 유한형으로 표현되지 않음을 보인다.
• $\pi_1(X_I) \neq 1$임이 모든 컴팩트 인터벌 $I \subset \mathbb{R}$에 대해 성립함을 증명하여, 커널이 유한형으로 표현되지 않음을 암시한다.
• 유한 개의 2-셀을 추가한 후에도 수준 집합 $X_I$의 기본군이 여전히 자명하지 않음을 보여, 이는 유한형으로 표현되지 않음을 모순적으로 뒷받침한다.
• 이 구성은 결과 공간의 유니버설 커버가 CAT(0)이자 가 contractible임을 보장하며, 군이 코컴팩트하게 작용함으로써 원하는 유한성 성질이 확인된다.