[논문 리뷰] Alternating projections and coupling slope

Dmitriy Drusvyatskiy, A. D. Ioffe외 1명|arXiv (Cornell University)|2014. 01. 29.

Optimization and Variational Analysis참고 문헌 37인용 수 16

한 줄 요약

이 논문은 볼록이 아닌 집합에 대해 정규성 또는 표준 교차 조건을 요구하지 않고, 비미분 가능 결합 함수의 기울기를 분석하여 교차하는 사영법의 국소 선형 수렴성을 확립한다. 반대칭 다항식이고 유계인 집합에 대해서는, 어떤 교차 조건도 필요로 하지 않고 교차점으로의 부분수열 수렴을 추가로 증명한다.

ABSTRACT

We consider the method of alternating projections for finding a point in the intersection of two possibly nonconvex closed sets. We present a local linear convergence result that makes no regularity assumptions on either set (unlike previous results), while at the same time weakening standard transver-sal intersection assumptions. The proof grows out of a study of the slope of a natural nonsmooth coupling function. When the two sets are semi-algebraic and bounded, we also prove subsequence convergence to the intersection with no transversality assumption. Key words: alternating projections, linear convergence, variational analysis, slope, transversality AMS 2000 Subject Classification: 49M20, 65K10, 90C30 1

연구 동기 및 목표

• 비볼록 닫힌 집합에 대해 정규성 가정 없이 교차 사영법의 국소 선형 수렴성을 확립하기 위해.
• 비볼록 설정에서 수렴을 위해 일반적으로 요구되는 표준 교차 조건을 약화시키기 위해.
• 수렴 분석의 중심 도구로 비미분 가능 결합 함수의 기울기를 분석하기 위해.
• 반대칭 다항식이고 유계인 집합에 대해 최소한의 기하 조건 하에서 부분수열 수렴을 증명하기 위해.
• 변분 해석 이론에서의 수렴 보장을 더 넓은 범주로 확장하기 위해.

제안 방법

• 수렴 성질를 유도하기 위해 기울기를 분석하는 비미분 가능 결합 함수를 도입한다.
• 특히 비미분 최적화에서 기울기 개념을 사용한 변분 해석 도구를 사용한다.
• 교차점 근처에서 기울기의 행동에 기반한 국소 선형 수렴 분석을 적용한다.
• 반대칭 기하학을 활용하여 교차 조건 없이 수렴을 확보한다.
• 메트릭 정규성과 기울기 기반 추정치를 조합하여 약한 기하 조건 하에서 수렴을 증명한다.
• 유계 반대칭 다항식 집합의 구조를 활용하여 부분수열의 수렴을 보장한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 정규성 또는 교차 조건 없이 비볼록 집합에 대해 교차 사영법이 선형 수렴할 수 있는가?
• RQ2 결합 함수의 기울기는 교차 사영법의 수렴 속도와 어떻게 관련되는가?
• RQ3 집합이 반대칭 다항식이고 유계일 때, 어떤 기하 조건이 부분수열 수렴을 보장하는가?
• RQ4 비볼록 타당성 문제에서 교차 조건을 얼마나 약화하거나 제거할 수 있는가?
• RQ5 기울기 분석이 비볼록 교차 사영법의 수렴에 대해 통합된 프레임워크를 제공할 수 있는가?

주요 결과

• 정규성 가정 없이도 비볼록 닫힌 집합에 대해 교차 사영법이 국소 선형 수렴을 달성한다.
• 이 결과는 표준 교차 조건의 약화된 형태를 만족하므로 이전 결과보다 더 넓은 문제 범주에 적용 가능하다.
• 자연스러운 비미분 가능 결합 함수의 기울기가 수렴 증명을 가능하게 하는 핵심 분석 도구로 밝혀졌다.
• 반대칭 다항식이고 유계인 집합에 대해서는 어떤 교차 조건도 필요 없이 교차점으로의 부분수열 수렴이 보장된다.
• 기울기 이론을 활용한 새로운 프레임워크를 통해 비볼록 타당성 문제의 수렴을 분석할 수 있다.
• 이 결과들은 이전 방법이 강한 기하 조건을 요구했던 비볼록 설정으로의 교차 사영법 적용 가능성을 확장한다.