[논문 리뷰] Amenability of groups is characterized by Myhill's Theorem

Laurent Bartholdi, Kielak, Dawid|arXiv (Cornell University)|2016. 05. 30.

Cellular Automata and Applications참고 문헌 8인용 수 23

한 줄 요약

이 논문은 세포자동기( cellular automata)를 이용하여 애매성 있는 군(amenability)을 특성화한다: 군이 애매성 있는 것은, 그 위의 모든 세포자동기가 Garden of Eden(GOE) 패턴을 가질 때 Mutually Erasable Patterns(MEP)도 가질 조건과 동치이다. 증명은 비-애매성 군에 대해 GOE는 있지만 MEP가 없는 세포자동기를 구성함으로써, Myhill의 Garden-of-Eden 정리의 역을 증명한다. 이는 Ceccherini-Silberstein, Machì, Scarabotti의 오랫동안 남아있던 추측을 해결하고, Schupp가 제기한 Myhill의 정리가 성립하는 군의 범주에 대한 질문에 답한다.

ABSTRACT

We prove a converse to Myhill's "Garden-of-Eden" theorem and obtain in this manner a characterization of amenability in terms of cellular automata: "A group $G$ is amenable if and only if every cellular automaton with carrier $G$ that has gardens of Eden also has mutually erasable patterns." This answers a question by Schupp, and solves a conjecture by Ceccherini-Silberstein, Machì and Scarabotti. An appendix by Dawid Kielak proves that group rings without zero divisors are Ore domains precisely when the group is amenable, answering a conjecture attributed to Guba.

연구 동기 및 목표

• Myhill의 Garden-of-Eden 정리가 정확히 애매성 군에 대해서만 성립한다는 추측을 해결하기 위해.
• Myhill의 정리의 역을 증명하기 위해: 군이 비-애매성이라면, Garden of Eden이 있지만 Mutually Erasable Patterns가 없는 세포자동기가 존재한다.
• 세포자동기에서 GOE와 MEP 간의 상호작용을 통해 애매성의 특성화를 하기 위해.
• 군의 애매성과 군의 환의 대수적 성질, 특히 영약수의 부재와의 연결 고리를 설정하기 위해.

제안 방법

• 유한체 K를 사용하여 군환 K[G] 위의 행렬을 이용해 비-애매성 군 G 위에 선형 세포자동기를 구성한다.
• 유한 지지된 구성에서 자동기의 단사성은 Mutually Erasable Patterns가 없음을 의미함을 이용한다.
• 구성된 자동기가 Garden of Eden을 가진다는 것을 보이기 위해, A^G = (K^2)^G에서 비자명한 두 번째 성분을 가진 구성이 이미지에 속하지 않음을 보여준다.
• Kielak가 제시한 바에 따르면 군환 K[G]에 비자명한 영약수가 존재하는 것과 군 G의 비-애매성은 동치임을 활용한다.
• Følner의 애매성 기준을 적용하여 비-애매성 군이 이동에 대해 낮은 관계를 가지는 유한 집합을 가짐을 보인다.
• Bernoulli 측도를 이용한 측도 이론적 추론을 통해 측도의 보존이 깨지는 것과 Garden of Eden의 존재를 연결한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 Myhill의 Garden-of-Eden 정리는 모든 군에 대해 성립하는가, 아니면 특정 범주에 대해서만 성립하는가?
• RQ2 세포자동기에서 Garden of Eden과 Mutually Erasable Patterns 간의 논리적 관계로 군의 애매성이 특성화될 수 있는가?
• RQ3 Myhill의 정리의 역이 참인가? 즉, GOE는 있지만 MEP가 없는 세포자동기를 허용하는 군은 반드시 비-애매성인가?
• RQ4 군환 K[G]에서 영약수가 존재하지 않도록 보장하는 대수적 조건은 무엇이며, 이는 애매성과 어떻게 관련되는가?
• RQ5 K[G]에 영약수가 없다는 것은 G가 애매성임을 의미하는가?

주요 결과

• 군 G가 애매성 있는 것은, G 위의 모든 세포자동기가 Garden of Eden을 가질 때 Mutually Erasable Patterns도 가질 조건과 동치이다.
• 모든 비-애매성 군 G에 대해, Garden of Eden은 있지만 Mutually Erasable Patterns가 없는 세포자동기가 존재한다. 이는 Myhill의 정리의 역을 증명한다.
• 세포자동기가 GOE는 있지만 MEP가 없는 경우가 존재하면, 그 군은 비-애매성임을 의미한다.
• 군환 K[G]에 영약수가 존재하지 않는 것은 G가 애매성임과 동치이며, 이는 Dawid Kielak가 제시한 부록에서 증명되었다.
• 애매성과 GOE 및 MEP 성질의 일치는 애매성 군 뿐 아니라 모든 군에 대해 성립한다.
• 세포자동기가 Bernoulli 측도를 보존하는 것은, 정확히 그 자동기가 Garden of Eden이 없을 때 성립하며, 이는 군이 애매성일 때에만 성립한다.