[논문 리뷰] Amenable actions of discrete quantum groups on von Neumann algebras

Mohammad S. M. Moakhar|arXiv (Cornell University)|2018. 03. 13.

Advanced Operator Algebra Research참고 문헌 17인용 수 6

한 줄 요약

이 논문은 von Neumann 대수 위에 작용하는 이산 양자군에 대한 Zimmer amenability를 도입하여, 비가환 설정으로의 고전적 amenability 개념의 일반화를 시도한다. 작용이 amenable임과 동시에 $ B(\ell^2(\mathbb{G})) \overline{\otimes} N $ 에서의 $ N \ltimes_\alpha \mathbb{G} $ 로의 $ \hat{\Delta}^{\mathrm{op}} \otimes \mathrm{id} $-equivariant 조건 기대가 존재하는 것과 동치임을 증명하며, 이는 Poisson 경계와 Kac 대수의 쌍대성에 응용된다.

ABSTRACT

We introduce the notion of Zimmer amenability for actions of discrete quantum groups on von Neumann algebras. We prove generalizations of several fundamental results of the theory in the noncommutative case. In particular, we give a characterization of Zimmer amenability of an action $α:\Bbb G\curvearrowright N$ in terms of $\hat{\Bbb{G}}$-injectivity of the von Neumann algebra crossed product $N\ltimes_α\Bbb G$. As an application we show that the actions of any discrete quantum group on its Poisson boundaries are always amenable.

연구 동기 및 목표

• 고전적 군에서의 Zimmer amenability 개념을 이산 양자군이 von Neumann 대수 위에 작용할 경우로 확장한다.
• 조건 기대를 통한 amenable 작용의 Delaroche 특성화의 비가환 성격을 비가환 설정에서 재구성한다.
• 이산 양자군이 그들의 Poisson 경계 위에 작용할 때 항상 amenable임을 증명한다.
• 이산 양자군의 amenability와 그 이중 대수의 $ \mathcal{T}(\ell^2(\mathbb{G})) $-모듈의 범주 내에서의 불변성 사이의 쌍대성을 제공한다.
• Kac 대수 설정에서 작용의 amenability와 교차곱의 불변성 사이의 등가성을 일반화한다.

제안 방법

• 작용 $ \alpha: \mathbb{G} \curvearrowright N $ 에 대해, $ \Delta \otimes \mathrm{id} $-equivariant 조건 기대 $ E_\alpha: \ell^\infty(\mathbb{G}) \overline{\otimes} N \to \alpha(N) $ 의 존재를 통해 Zimmer amenability를 정의한다.
• 브레이드된 텐서곱과 이중 양자군 $ \hat{\mathbb{G}} $ 의 유도된 작용을 이용하여, equivariant 조건 기대를 구성한다.
• $ B(\ell^2(\mathbb{G})) \overline{\otimes} N $ 에서 $ N \ltimes_\alpha \mathbb{G} $ 로의 $ \hat{\Delta}^{\mathrm{op}} \otimes \mathrm{id} $-equivariant 조건 기대의 존재와 작용의 amenability 사이의 등가성을 확립한다.
• Kac 대수의 경우, 조건 기대의 조건 기대의 등가성 조건을 제거할 수 있으며, 이는 $ B(\ell^2(\mathbb{G})) \overline{\otimes} N $ 에서 $ N \ltimes_\alpha \mathbb{G} $ 로의 조건 기대의 존재로 단순화된다.
• 이 특성화를 적용하여, $ \mathbb{G} $ 가 그의 Poisson 경계 $ \mathcal{H}_\mu $ 에 자연스럽게 작용하는 작용이 항상 amenable임을 보인다.
• 이 틀을 이용하여, $ N \ltimes_\alpha \mathbb{G} $ 가 $ \hat{\mathbb{G}} $-불변임과 동시에 $ N $ 이 불변이고 $ \alpha $ 가 amenable임과 동치임을 증명한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 지역적으로 컴act한 군에서의 Zimmer amenability 개념을 이산 양자군이 von Neumann 대수 위에 작용할 경우로 어떻게 일반화할 수 있는가?
• RQ2 조건 기대를 통한 amenable 작용의 비가환 성격은 Delaroche의 특성화와 어떻게 대응되는가?
• RQ3 이산 양자군이 그의 Poisson 경계 위에 작용할 때 항상 amenable인가?
• RQ4 Kac 대수의 경우, amenable 작용의 특성화에서 조건 기대의 조건 기대 조건을 제거할 수 있는가?
• RQ5 이산 양자군의 amenability와 $ \mathcal{T}(\ell^2(\mathbb{G})) $-모듈의 범주 내에서의 이중 대수의 불변성 사이의 관계는 무엇인가?

주요 결과

• 작용 $ \alpha: \mathbb{G} \curvearrowright N $ 가 amenable임과 동시에 $ B(\ell^2(\mathbb{G})) \overline{\otimes} N $ 에서 $ N \ltimes_\alpha \mathbb{G} $ 로의 $ \hat{\Delta}^{\mathrm{op}} \otimes \mathrm{id} $-equivariant 조건 기대가 존재하는 것과 동치이며, 이는 Zimmer 결과의 비가환 성격을 확립한다.
• 모든 이산 양자군 $ \mathbb{G} $ 는 그의 Poisson 경계 $ \mathcal{H}_\mu $ 에 자연스럽게 작용하며, 이 작용은 항상 amenable하다. 여기서 $ \mu \in \ell^1(\mathbb{G}) $ 는 상태이다.
• 이산 Kac 대수 $ \mathbb{G} $ 에서, $ \mathbb{G} $ 의 amenability 는 $ L^\infty(\hat{\mathbb{G}}) $ 에서의 자연스러운 작용의 amenability 와 동치이다.
• $ N \ltimes_\alpha \mathbb{G} $ 가 $ \hat{\mathbb{G}} $-불변임과 동시에 $ N $ 이 불변이고 $ \alpha $ 가 amenable임과 동치이다.
• $ \mathbb{G} $ 가 $ \mathbb{C} $ 에서의 자명한 작용이 amenable임과 동시에 $ \mathbb{G} $ 가 amenable임과 동치이며, 이는 $ \mathbb{G} $ 의 amenability 와 $ \mathcal{T}(\ell^2(\mathbb{G})) $-모듈의 범주 내에서의 $ L^\infty(\hat{\mathbb{G}}) $ 의 불변성 사이의 쌍대성을 이끌어낸다.
• 이 결과는 Kac 대수의 경우 Crann과 Neufang 의 쌍대성을 일반화하며, Delaroche 의 보조정리 4.2 를 비가환 설정으로 확장한다.