[논문 리뷰] An action for higher spin gauge theory in four dimensions

Nima Doroud, Lee Smolin|arXiv (Cornell University)|2011. 02. 16.

Black Holes and Theoretical Physics참고 문헌 23인용 수 15

한 줄 요약

이 논문은 일반 상대성 이론의 MacDowell-Mansouri 형식을 확장하여 4차원 보존성 고스핀 게이지 이론에 대한 삼차 작용 원리를 제안한다. 이 작용은 무한차원 게이지 대칭을 갖는 위상적 장 이론에서 유도되며, 로렌츠 대칭으로의 대칭 깨짐을 겪고, 바시예프의 운동 방정식을 유도한다. 핵심 결과는 모든 제약 조건이 제1종임을 보여주는 해밀토니안 형식화로, 이는 이론의 미분형식 불변성과 게이지 구조를 확인한다.

ABSTRACT

An action principle is presented for Vasiliev's Bosonic higher spin gauge theory in four spacetime dimensions. The action is of the form of a broken topological field theory, and arises by an extension of the MacDowell-Mansouri formulation of general relativity. In the latter theory the local degrees of freedom of general relativity arise by breaking the gauge invariance of a topological theory from $sp(4)$ to the Lorentz algebra. In Vasiliev's theory the infinite number of degrees of freedom with higher spins similarly arise by the breaking of a topological theory with an infinite dimensional gauge symmetry extending $sp(4)$ to the Lorentz algebra. The Hamiltonian formulation of Vasilev's theory is then derived from our action, and it is shown that the Hamiltonian is a linear combination of constraints, as expected for a diffeomorphism invariant theory. The constraint algebra is computed and found to be first class.

연구 동기 및 목표

• 바시예프의 4차원 보존성 고스핀 게이지 이론에 대해 일관된 작용 원리를 구성하는 것 — 이는 오랫동안 열린 문제였다.
• 일반 상대성 이론의 $sp(4)$에서 로렌츠 군으로의 대칭 깨짐에 기반한 MacDowell-Mansouri 형식을, 무한차원 고스핀 게이지 대칭으로 확장하는 것.
• 바시예프 이론의 해밀토니안 형식화를 도출하고, 제约束 대수의 제1종 성질을 검증하여 게이지 불변성과 미분형식 불변성을 확인하는 것.
• 일반 상대성 이론이 위상적 장 이론으로서 대칭 깨짐을 겪는 것과 유사하게, 고스핀 이론이 그의 무한스핀 확장임을 직접적인 유사성으로 설정하는 것.

제안 방법

• 작용은 $sp(4)$를 확장한 무한차원 게이지 대수를 갖는 위상적 장 이론으로 구성되며, MacDowell-Mansouri 접근과 유사하다.
• 게이지 대수는 고스핀 대수 $hs(4)$로 표현되며, 장은 비틀린 고유 표현과 $Z$-공간 미분 구조를 갖는다.
• 작용은 접속 $A$와 곡률 $F$를 사용하여 기술되며, 초트레이스와 $Z$-의존 적분 측도를 포함하는 초코흐-스미스 유사 형식을 취한다.
• 시공간의 3+1 분해를 적용하여 해밀토니안을 유도하며, 공간 성분의 접속에 대해 쌍대 운동량을 정의한다.
• canonical 분석을 통해 제약 조건을 유도하며, 가우스 유사, 미분형식 유사, 물질 제약 조건이 포함되며, 모두 제1종임을 입증한다.
• 제약 대수를 명시적으로 계산하고, 포아송 괄호 관계를 통해 닫힘과 제1종 성질을 확인하여 게이지 불변성을 검증한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 바시예프의 4차원 보존성 고스핀 게이지 이론에 대해 일반 상대성 이론의 MacDowell-Mansouri 작용과 유사한 삼차 작용 원리를 구성할 수 있는가?
• RQ2 일반 상대성 이론에서의 $sp(4) \to \mathfrak{so}(4)$ 대칭 깨짐과 유사하게, 고스핀 이론의 무한차원 게이지 대칭이 위상적 장 이론을 통한 대칭 깨짐으로서 어떻게 유도되는가?
• RQ3 바시예프 이론의 해밀토니안 형식화는 무엇이며, 그 제약 조건은 제1종인가? 이는 미분형식 불변성 이론에 요구되는 조건이다.
• RQ4 제약 조건들이 포아송 괄호 대수 하에서 올바른 게이지 대칭, 특히 공간적 미분형식을 생성하는가?

주요 결과

• 제안된 작용 (73)은 4차원에서 삼차적이고 게이지 불변적인 형식으로, 바시예프의 운동 방정식 (58, 59)을 정확히 재현한다.
• 해밀토니안은 제1종 제약 조건들의 선형 조합 (83–92)으로서 나타나며, 이는 이론의 미분형식 불변성과 게이지 구조를 확인한다.
• 모든 제약 조건, 특히 일반화된 가우스 제약 (83)까지도 제1종임이 입증되었으며, 이는 다른 모든 제약 조건과의 포아송 괄호가 0이 되는 것으로 나타난다.
• 가우스 제약 조건은 게이지 변환을 생성한다: $\{\widetilde{G}[f], \widetilde{W_i}[g^i]\} \approx \widetilde{D_i f}[g^i]$, 국소 대칭과 일치한다.
• 공간적 미분형식 대칭은 제약 대수를 통해 실현되며, 제约束 표면에서 $\{\widetilde{G}[\xi^j W_j], \widetilde{W_i}[f^i]\} \approx \widetilde{\mathcal{L}_\xi W_i}[f^i]$ 를 만족한다.
• 전체 제약 대수는 포아송 괄호 하에서 닫혀 있으며, 이는 해밀토니안 형식화의 일관성과 이론의 양자 이론과의 호환성을 확인한다.